従来の寿命の計算式は「エネルギー保存則」は明示的に考慮されています。
しかしながら、以下の２つの事を暗黙の了解としています。
①、どんなにＢＨの質量が小さくなっても、ＢＨのホライズン径が小さくなっても仮想粒子はＢＨに飛び込む事が出来る。
それゆえどんなに小さなＢＨでもそれまでと同じ様にしてホーキング放射を出す事が出来る。
②、最後にこのＢＨに飛び込む事になる仮想粒子のエネルギーをその時にＢＨが持つエネルギーと同じ値にできる。
そうであればこのＢＨはホーキング放射として仮想粒子がＢＨから持ち出すエネルギーによって消滅する事になる。
さらに今回指摘している様に、「運動量保存則」は考慮されていません。
それは「考慮しなくとも良い」かのように扱われています。
それに対して前回の検討では「運動量保存則」を考慮する様にしたものです。
その結果は「計算が⑤の状況ですでに成立しなくなる」という所まで確認できました。
以下は前回の結果の再掲示になります。
この計算ではエネルギーと運動量の保存則を同時に考量しています。
ニュートリノ吸収後の
ΔＥ Ｐ Ｅ ＢＨの質量Ｍ
① 2.195E+08 0.73230 1.956E+09 1.916E-08
② 2.473E+08 0.82489 1.736E+09 1.634E-08
③ 2.884E+08 0.96190 1.489E+09 1.297E-08
④ 3.576E+08 1.19295 1.201E+09 8.492E-09
⑤ 5.094E+08 1.69911 8.429E+08 ------
そして、そこで指摘した様に「より少ないエネルギーの放射であれば⑤の状況でも可能である事」をコメントしておきました。
従いまして、「話の続きはそこから」と言う事になります。
以下の表より⑤ の状況を再確認して起きます。
M（Kg） Ｔ（K） ⊿Ｍ（Kg） Ｍ－⊿Ｍ(Kg) ２＊Ｒｓ／Ｌｐ
④ 1.336E-08 9.186E+30 3.979E-09 9.378E-09 ２．４６
⑤ 9.378E-09 1.308E+31 5.667E-09 3.711E-09 １．７２
（ちなみにこの表の計算では運動量保存則が考慮されていません。）
質量は9.378E-09（Ｋｇ）、これはプランク質量の４割程度の値です。
そしてホーキング温度が1.308E+31（Ｋ）。
このホーキング温度で一番発生頻度が高いエネルギーでの放射を計算するとＮＧとなった、と言うのが前回の結果でした。
そして⑤の計算でもホーキング放射前にはＢＨは静止していた、という実際にはありえない条件で解くのですが、これは簡便な計算をする上では仕方がない事でした。
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＝Ｐ＾２＊Ｃ＾２＋Ｍ＾２＊Ｃ＾４
において今回のホーキング放射のエネルギーが⊿Ｅの時にはＰ＊Ｃの値も⊿Ｅとなっています。
（これが「放射前はＢＨは静止していた」という条件のありがたみです。）
そうなるとホーキング放射の条件式
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＞＝Ｐ＾２＊Ｃ＾２
は
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＞＝⊿Ｅ＾２
となり、整理すると
Ｅ＊（Ｅ－２＊⊿Ｅ）＞＝０
最終的にはＥ＞０である事よりこの条件は
Ｅ－２＊⊿Ｅ＞＝０
従って
Ｅ／２＞＝⊿Ｅ
という事になります。
つまり「その時のＢＨの全エネルギーの半分までのエネルギーを持つホーキング放射であれば可能である」という訳です。
しかしながら通常はホーキング放射前のＢＨが止まっている、という状況は、このＢＨが一番最初にホーキング放射を出した時のみに成立していた状況です。
そうでありますから一般的にはホーキング放射を出す前にＰ＞０であって、従って
Ｅ／２＝⊿Ｅ
と言うような限界条件ではホーキング放射は起こりえない、と言う事になります。
（ホーキング放射を出す前にすでにＢＨは運動量Ｐを持っていた、とすると今回ＢＨに飛び込んだ仮想粒子がもっていた運動量を、ＢＨが持っていた運動量Ｐとベクトル加算する事になり、従って
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＝Ｐ＾２＊Ｃ＾２＋Ｍ＾２＊Ｃ＾４において
この式のＰ＾２＊Ｃ＾２の値はかなりの確率で⊿Ｅ＾２を上回る事が予想できます。
それは結局のところホーキング放射の条件式
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＞＝Ｐ＾２＊Ｃ＾２
がより成立しにくくなる、と言う事につながります。）
そう言う訳でここでは
⊿Ｅ＝＜０．５＊Ｅ
ではなく
⊿Ｅ＝＜０．４＊Ｅ
として以降の話を進めさせていただきます。
ちなみに前回、計算できなくなったエネルギー⊿Ｅは5.094E+08であって、これはＢＨのエネルギーＥの０．６倍になっていました。
このことから分かります事は、ＢＨはこのレベルになると「ＢＨのホーキング温度に対応した黒体放射スペクトルの振動数の高い方の放射はできなくなる」、つまり「ＢＨはハイカットフィルターになる」という事になります。
ここでは計算ステップを小さくする事は可能ですが、話が煩雑になりますので
⊿Ｅ＝０．４＊Ｅ
として⑤のステップを計算しましょう。
Ｍ＝ｓｑｒｔ（（Ｅ－⊿Ｅ）＾２-Ｐ＾２＊Ｃ＾２)/C^4)
において
⊿Ｅ＝０．４＊Ｅ
Ｐ＾２＊Ｃ＾２＝⊿Ｅ＾２
を代入し整理しますと、
Ｍ＝ｓｑｒｔ（０．２）＊Ｅ/Ｃ＾２=０．４４７２＊(ホーキング放射前のＢＨの質量）
となります。
以上より
放射前ＢＨ質量Ａ（Kg）と放射後ＢＨ質量Ｂ（Kg）、放射前ＢＨ直径をプランク長さで割った値を以下に示します。
Ａ（Kg） Ｂ（Kg） ＢＨ直径/Lp
⑤ 9.378E-09 4.194E-09 １．７２
⑥ 4.194E-09 1.875E-09 ０．７６９
⑦ 1.875E-09 8.387E-10 ０．３４４
（なお⑥、⑦は⑤と同じ条件で繰り返しホーキング放射をした場合の計算結果です。）
こうしてみると「ホーキング放射前のＢＨはほぼ静止している」という条件と「⊿Ｅ＝０．４＊Ｅ」の条件でホーキング放射は無限に続くかの様に見えます。
その有様は０．４４７２を比例係数とした等比数列になっていますから、そのように見えるのは当然の事になります。
しかしながら、ＢＨの質量が小さくなる、と言う事はＢＨの温度が上がる、と言う事につながりその結果としては、「エネルギーの低い放射が起きる確率が下がる」という結果につながります。
そう言う訳で、次はそのような放射が起きる確率Ｐを計算する事になります。
そうして、実はＢＨのホライズン直径が２Ｌｐを切ったあたりからこのような確率計算が必要になってくる模様です。
さて質量ＭのＢＨのホーキング温度Ｔは
Ｔ＝ｈ＊Ｃ＾３／（８＊Ｐｉ＊Ｋｂ＊Ｍ＊Ｇ）でした。
温度Ｔの時の黒体放射スペクトルでもっとも多く放射されるエネルギーＥpの放射は
Ｅp＝２．８２＊Ｋｂ＊Ｔでした。（プランク則参照）
Ｔにホーキング温度を入れて整理すると
Ｅp＝２．８２＊ｈ＊Ｃ＾３／（８＊Ｐｉ＊Ｍ＊Ｇ）となります。
今回は⊿Ｅ＝０．４＊Ｅ＝０．４＊Ｍ＊Ｃ＾２としています。
この⊿ＥがＥｐの何倍になっているのかを確率計算の目安とします。
Ｒ＝⊿Ｅ/Ｅpに上記を代入して整理すると
Ｒ＝（０．４＊８＊Ｐｉ／２．８２）＊（Ｍ／Ｍｐ）＾２
となります。
ここでＭｐはプランク質量ＭｐでＭｐ＝ｓｑｒｔ（Ｃ＊ｈ/G)です。.
（そうしてＭｐ＝ 2.176E-08（Ｋｇ）でもあります。）
今回の条件では限界であるエネルギー⊿Ｅ以下のエネルギーの放射が可能である、と言う事ですので、その条件で確率計算をします。
（⊿Ｅ＝＜０．４＊Ｅですので、最大値が⊿Ｅ＝０．４＊Ｅ、でも計数０．４は０＜計数＜＝０．４でＯＫですのでその範囲で積分する事になります。）
Ａ（Kg） Ｒ Ｐ （参考：積分した値）
⑤ 9.378E-09 0.6621 0.1561 101383000
⑥ 4.194E-09 0.1324 0.002316 1504120
⑦ 1.875E-09 0.02647 0.00002076 13480
確率Ｐの求め方は「ホーキングさんが考えたこと・１７」で行ったやり方に準じ、ウルフラムを使って
「0からＲ＊２８２の範囲でx^3/(e^(x/100)-1) の積分」を行い、得られた値それぞれを
母数を６．４９３９４＊１０＾８として、その値で割ってＰを求めます。＜－－リンク
（ここで母数は「0から無限大の範囲でx^3/(e^(x/100)-1) の積分」を行った値となります。）
そうしますと⑤では１０回に一回ほどは放射が起こりそうですが⑥では１０００回に２回、⑦では１０万回に２回とＢＨの質量が小さくなるにつれて、なかなかホーキング放射が起きなくなる、という状況になる事が分かります。
これはホーキング放射可能なエネルギーレベルを超えた仮想粒子の発生が原因です。
その様な場合はＢＨはその仮想粒子のＢＨへの飛び込みを無視する事になります。
ちなみに上記の計算では「ＢＨの質量Ｍの減少に伴うホライズン直径の減少が原因で仮想粒子がＢＨに飛び込めなくなる」という「従来から当方が主張している効果」は考慮されていません。
・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと 一覧＜－－リンク
http://archive.fo/tsEvG
http://archive.fo/qp4Qb
しかしながら、以下の２つの事を暗黙の了解としています。
①、どんなにＢＨの質量が小さくなっても、ＢＨのホライズン径が小さくなっても仮想粒子はＢＨに飛び込む事が出来る。
それゆえどんなに小さなＢＨでもそれまでと同じ様にしてホーキング放射を出す事が出来る。
②、最後にこのＢＨに飛び込む事になる仮想粒子のエネルギーをその時にＢＨが持つエネルギーと同じ値にできる。
そうであればこのＢＨはホーキング放射として仮想粒子がＢＨから持ち出すエネルギーによって消滅する事になる。
さらに今回指摘している様に、「運動量保存則」は考慮されていません。
それは「考慮しなくとも良い」かのように扱われています。
それに対して前回の検討では「運動量保存則」を考慮する様にしたものです。
その結果は「計算が⑤の状況ですでに成立しなくなる」という所まで確認できました。
以下は前回の結果の再掲示になります。
この計算ではエネルギーと運動量の保存則を同時に考量しています。
ニュートリノ吸収後の
ΔＥ Ｐ Ｅ ＢＨの質量Ｍ
① 2.195E+08 0.73230 1.956E+09 1.916E-08
② 2.473E+08 0.82489 1.736E+09 1.634E-08
③ 2.884E+08 0.96190 1.489E+09 1.297E-08
④ 3.576E+08 1.19295 1.201E+09 8.492E-09
⑤ 5.094E+08 1.69911 8.429E+08 ------
そして、そこで指摘した様に「より少ないエネルギーの放射であれば⑤の状況でも可能である事」をコメントしておきました。
従いまして、「話の続きはそこから」と言う事になります。
以下の表より⑤ の状況を再確認して起きます。
M（Kg） Ｔ（K） ⊿Ｍ（Kg） Ｍ－⊿Ｍ(Kg) ２＊Ｒｓ／Ｌｐ
④ 1.336E-08 9.186E+30 3.979E-09 9.378E-09 ２．４６
⑤ 9.378E-09 1.308E+31 5.667E-09 3.711E-09 １．７２
（ちなみにこの表の計算では運動量保存則が考慮されていません。）
質量は9.378E-09（Ｋｇ）、これはプランク質量の４割程度の値です。
そしてホーキング温度が1.308E+31（Ｋ）。
このホーキング温度で一番発生頻度が高いエネルギーでの放射を計算するとＮＧとなった、と言うのが前回の結果でした。
そして⑤の計算でもホーキング放射前にはＢＨは静止していた、という実際にはありえない条件で解くのですが、これは簡便な計算をする上では仕方がない事でした。
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＝Ｐ＾２＊Ｃ＾２＋Ｍ＾２＊Ｃ＾４
において今回のホーキング放射のエネルギーが⊿Ｅの時にはＰ＊Ｃの値も⊿Ｅとなっています。
（これが「放射前はＢＨは静止していた」という条件のありがたみです。）
そうなるとホーキング放射の条件式
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＞＝Ｐ＾２＊Ｃ＾２
は
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＞＝⊿Ｅ＾２
となり、整理すると
Ｅ＊（Ｅ－２＊⊿Ｅ）＞＝０
最終的にはＥ＞０である事よりこの条件は
Ｅ－２＊⊿Ｅ＞＝０
従って
Ｅ／２＞＝⊿Ｅ
という事になります。
つまり「その時のＢＨの全エネルギーの半分までのエネルギーを持つホーキング放射であれば可能である」という訳です。
しかしながら通常はホーキング放射前のＢＨが止まっている、という状況は、このＢＨが一番最初にホーキング放射を出した時のみに成立していた状況です。
そうでありますから一般的にはホーキング放射を出す前にＰ＞０であって、従って
Ｅ／２＝⊿Ｅ
と言うような限界条件ではホーキング放射は起こりえない、と言う事になります。
（ホーキング放射を出す前にすでにＢＨは運動量Ｐを持っていた、とすると今回ＢＨに飛び込んだ仮想粒子がもっていた運動量を、ＢＨが持っていた運動量Ｐとベクトル加算する事になり、従って
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＝Ｐ＾２＊Ｃ＾２＋Ｍ＾２＊Ｃ＾４において
この式のＰ＾２＊Ｃ＾２の値はかなりの確率で⊿Ｅ＾２を上回る事が予想できます。
それは結局のところホーキング放射の条件式
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＞＝Ｐ＾２＊Ｃ＾２
がより成立しにくくなる、と言う事につながります。）
そう言う訳でここでは
⊿Ｅ＝＜０．５＊Ｅ
ではなく
⊿Ｅ＝＜０．４＊Ｅ
として以降の話を進めさせていただきます。
ちなみに前回、計算できなくなったエネルギー⊿Ｅは5.094E+08であって、これはＢＨのエネルギーＥの０．６倍になっていました。
このことから分かります事は、ＢＨはこのレベルになると「ＢＨのホーキング温度に対応した黒体放射スペクトルの振動数の高い方の放射はできなくなる」、つまり「ＢＨはハイカットフィルターになる」という事になります。
ここでは計算ステップを小さくする事は可能ですが、話が煩雑になりますので
⊿Ｅ＝０．４＊Ｅ
として⑤のステップを計算しましょう。
Ｍ＝ｓｑｒｔ（（Ｅ－⊿Ｅ）＾２-Ｐ＾２＊Ｃ＾２)/C^4)
において
⊿Ｅ＝０．４＊Ｅ
Ｐ＾２＊Ｃ＾２＝⊿Ｅ＾２
を代入し整理しますと、
Ｍ＝ｓｑｒｔ（０．２）＊Ｅ/Ｃ＾２=０．４４７２＊(ホーキング放射前のＢＨの質量）
となります。
以上より
放射前ＢＨ質量Ａ（Kg）と放射後ＢＨ質量Ｂ（Kg）、放射前ＢＨ直径をプランク長さで割った値を以下に示します。
Ａ（Kg） Ｂ（Kg） ＢＨ直径/Lp
⑤ 9.378E-09 4.194E-09 １．７２
⑥ 4.194E-09 1.875E-09 ０．７６９
⑦ 1.875E-09 8.387E-10 ０．３４４
（なお⑥、⑦は⑤と同じ条件で繰り返しホーキング放射をした場合の計算結果です。）
こうしてみると「ホーキング放射前のＢＨはほぼ静止している」という条件と「⊿Ｅ＝０．４＊Ｅ」の条件でホーキング放射は無限に続くかの様に見えます。
その有様は０．４４７２を比例係数とした等比数列になっていますから、そのように見えるのは当然の事になります。
しかしながら、ＢＨの質量が小さくなる、と言う事はＢＨの温度が上がる、と言う事につながりその結果としては、「エネルギーの低い放射が起きる確率が下がる」という結果につながります。
そう言う訳で、次はそのような放射が起きる確率Ｐを計算する事になります。
そうして、実はＢＨのホライズン直径が２Ｌｐを切ったあたりからこのような確率計算が必要になってくる模様です。
さて質量ＭのＢＨのホーキング温度Ｔは
Ｔ＝ｈ＊Ｃ＾３／（８＊Ｐｉ＊Ｋｂ＊Ｍ＊Ｇ）でした。
温度Ｔの時の黒体放射スペクトルでもっとも多く放射されるエネルギーＥpの放射は
Ｅp＝２．８２＊Ｋｂ＊Ｔでした。（プランク則参照）
Ｔにホーキング温度を入れて整理すると
Ｅp＝２．８２＊ｈ＊Ｃ＾３／（８＊Ｐｉ＊Ｍ＊Ｇ）となります。
今回は⊿Ｅ＝０．４＊Ｅ＝０．４＊Ｍ＊Ｃ＾２としています。
この⊿ＥがＥｐの何倍になっているのかを確率計算の目安とします。
Ｒ＝⊿Ｅ/Ｅpに上記を代入して整理すると
Ｒ＝（０．４＊８＊Ｐｉ／２．８２）＊（Ｍ／Ｍｐ）＾２
となります。
ここでＭｐはプランク質量ＭｐでＭｐ＝ｓｑｒｔ（Ｃ＊ｈ/G)です。.
（そうしてＭｐ＝ 2.176E-08（Ｋｇ）でもあります。）
今回の条件では限界であるエネルギー⊿Ｅ以下のエネルギーの放射が可能である、と言う事ですので、その条件で確率計算をします。
（⊿Ｅ＝＜０．４＊Ｅですので、最大値が⊿Ｅ＝０．４＊Ｅ、でも計数０．４は０＜計数＜＝０．４でＯＫですのでその範囲で積分する事になります。）
Ａ（Kg） Ｒ Ｐ （参考：積分した値）
⑤ 9.378E-09 0.6621 0.1561 101383000
⑥ 4.194E-09 0.1324 0.002316 1504120
⑦ 1.875E-09 0.02647 0.00002076 13480
確率Ｐの求め方は「ホーキングさんが考えたこと・１７」で行ったやり方に準じ、ウルフラムを使って
「0からＲ＊２８２の範囲でx^3/(e^(x/100)-1) の積分」を行い、得られた値それぞれを
母数を６．４９３９４＊１０＾８として、その値で割ってＰを求めます。＜－－リンク
（ここで母数は「0から無限大の範囲でx^3/(e^(x/100)-1) の積分」を行った値となります。）
そうしますと⑤では１０回に一回ほどは放射が起こりそうですが⑥では１０００回に２回、⑦では１０万回に２回とＢＨの質量が小さくなるにつれて、なかなかホーキング放射が起きなくなる、という状況になる事が分かります。
これはホーキング放射可能なエネルギーレベルを超えた仮想粒子の発生が原因です。
その様な場合はＢＨはその仮想粒子のＢＨへの飛び込みを無視する事になります。
ちなみに上記の計算では「ＢＨの質量Ｍの減少に伴うホライズン直径の減少が原因で仮想粒子がＢＨに飛び込めなくなる」という「従来から当方が主張している効果」は考慮されていません。
・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと 一覧＜－－リンク
http://archive.fo/tsEvG
http://archive.fo/qp4Qb
