ダークマター・ホーキングさんが考えたこと・２４・ＢＨ（ブラックホール）は消滅可能なのか？（２）

「ホーキングさんが考えたこと・２１」ではニュートリノ放出場合で、ホーキング放射に伴いＢＨが受け取るべき運動量Ｐを考慮するとどのような計算になるのかを示しました。
それと同じ計算を「ホーキングさんが考えたこと・１６」で取り上げた、順次ホーキング放射を出しながらＢＨが自分の質量を減らしていく事例について行ってみましょう。

さてそれで「ホーキングさんが考えたこと・２０」によれば⊿Ｅのエネルギーを持つ質量ｍのニュートリノが満足すべき式は
⊿Ｅ＋ｍ＊Ｃ＾２＝ｓｑｒｔ（Ｐ＾２＊Ｃ＾２＋ｍ＾２＊Ｃ＾４）
となる事になります。
ΔＥはニュートリノ・ホーキング放射のエネルギーＥを質量ΔＭに換算した値にＣ＾２をかけて求めます。

整理して
Ｐ＝ｓｑｒｔ（（⊿Ｅ＾２＋２＊⊿Ｅ＊ｍ＊Ｃ＾２）/Ｃ＾２）
但しｍ＊Ｃ＾２＝（１．１＊１０＾ー３４）＊Ｃ＾２＝9.887E-18（Ｊ）
以上より⊿Ｅのエネルギーを持つ質量ｍのニュートリノの運動量Ｐが求まります。

このニュートリノを吸収したＢＨが満たす式は次のようになります。
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＝Ｐ＾２＊Ｃ＾２＋Ｍ＾２＊Ｃ＾４
この式はＢＨは⊿Ｅのエネルギーを真空に対して支払い、運動量Ｐをニュートリノから受け取る事を示しています。

ここでＭはニュートリノが飛び込んだ後のＢＨの静止質量を表します。
Ｅはニュートリノが飛び込む前のＢＨの質量にＣ＾２を掛けて求めます。

以上をＭについて解いて
Ｍ＝ｓｑｒｔ(((Ｅ－⊿Ｅ）＾２-Ｐ＾２＊Ｃ＾２)/C^4)
を得ます。

まずは「ホーキングさんが考えたこと・１６」の結果を再掲示します。
この計算ではエネルギー保存則のみを考量しています。
　　M（Kg）　Ｔ（K）　⊿Ｍ（Kg）　Ｍ－⊿Ｍ(Kg)　　２＊Ｒｓ／Ｌｐ
① 2.176E-08　 5.638E+30　2.443E-09　1.932E-08　４．０
② 1.932E-08　 6.351E+30　2.751E-09　1.657E-08　３．５５
③ 1.657E-08　7.407E+30　3.208E-09　1.336E-08　３．０４
④ 1.336E-08　9.186E+30　3.979E-09　9.378E-09　２．４６
⑤ 9.378E-09　1.308E+31　5.667E-09　3.711E-09　１．７２
⑥ 3.711E-09　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　０．６８

そうして以下が今回の計算結果となります。
この計算ではエネルギーと運動量の保存則を同時に考量しています。
　　　　　　　　 　　　　　　　　　　ニュートリノ吸収後の
　　　ΔＥ　　　　　Ｐ　　　　Ｅ　　　　　　ＢＨの質量Ｍ
① 2.195E+08　0.73230　　1.956E+09　　1.916E-08　　　
② 2.473E+08　0.82489　　1.736E+09　　1.634E-08　　　
③ 2.884E+08　0.96190　　1.489E+09　　1.297E-08　　　　
④ 3.576E+08　1.19295　　1.201E+09　　8.492E-09　　　
⑤ 5.094E+08　1.69911　　8.429E+08　　------　　　　
⑥ 1.287E+09　4.29413　　3.335E+08　　------　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

ニュートリノ吸収によるＢＨの運動量の増加はＢＨの運動エネルギーとなり、その分ＢＨの質量減少の度合いが大きくなることは前回の説明と同じです。

そうして、今回特に注目すべきは⑤の状況においてはもはや計算が成立しなくなる、という事であります。
⑤においてはニュートリノ吸収後のＢＨの質量Ｍを求める式で
Ｍ＝(((Ｅ－⊿Ｅ）＾２-Ｐ＾２＊Ｃ＾２)/C^4)
においてルートの中身がマイナスになっています。

つまり、⑤の状況においてはもはや想定したエネルギーでのホーキング放射は「運動量保存則とエネルギー保存則の両方を同時に満たす事は出来ない」という事であり、したがってこの条件でのホーキング放射は起こらない、という事になります。
（そのような仮想粒子がＢＨに飛び込んでも、ＢＨはそれを無視する、という事になります。
つまり、その仮想粒子は実体化することなく、何事もなかった様にただ消えていくだけであります。）

但し、この計算の場合のホーキング放射のエネルギーはＢＨ質量から決まるホーキング温度で最も多く発生すると予想されるものになっています。
（つまり、もっとエネルギーの値が少ないホーキング放射であれば⑤の状況のＢＨ質量でも放射が可能である、という事です。）
そして今回の場合のＢＨのホライズン直径はプランク質量ＭｐのＢＨの４０％程度の所になっています。注２

ちなみに⑤の時に「ホーキングさんが考えたこと・１６」で計算が可能だった理由は、「１６」での計算は運動量保存則を考慮せず、エネルギー保存則のみで計算していたからという事です。


さてこれは従来、当方が主張してきた事「ＢＨのホライズン直径がＬｐ未満になった時点でホーキング放射は一旦とまる」という条件によるものではありません。

「運動量保存則とエネルギー保存則を満たす事」という条件があれば、ＢＨのホライズン直径がＬｐに至る前にホーキング放射は自動的に止まるかの様であります。
そうして、そのように自然は、宇宙は出来上がっている、という事になります。


所で⑤の計算ではホーキング放射を出す前のＢＨの運動量はゼロとしています。
（①から⑥までそのようにして計算しています。）
しかしながら実際の状況ではこれまで見てきたように、ＢＨはホーキング放射を出すたびごとにその方向とは逆方向の運動量を得て動き出す、という事でした。

そうでありますから本来はＢＨの質量Ｍを求める式
Ｍ＝(((Ｅ－⊿Ｅ）＾２-Ｐ＾２＊Ｃ＾２)/C^4)
において、Ｐの値はそれまでそのＢＨが放射してきたホーキング放射によって生じた反作用としての運動量、それはまたＢＨに吸収されたニュートリノが持ち込んだ運動量でもありますが、その運動量Ｐｉを最初のニュートリノが運び込んだ運動量Ｐ１から今回運び込まれた運動量Ｐｎまでの全ての運動量ベクトルＰｉをベクトル加算し、その合計されたベクトルの絶対値を入れる必要がある、という事になります。

その際に原点となる座標系はそのＢＨが誕生した時のＢＨの中心にある特異点の位置にとるのが妥当であります。
そうやって決められた座標系で、ＢＨにいままで放出された全てのホーキング放射の反作用の運動量が合計され、その合計された運動量ベクトルの絶対値をとってＰとし、そうして
Ｍ＝(((Ｅ－⊿Ｅ）＾２-Ｐ＾２＊Ｃ＾２)/C^4)
の式によってＢＨの質量Ｍが計算されなくてはなりません。

その時にはΔＥは今回の放射を含めて、今までホーキング放射でＢＨから出て行ったエネルギーの合計になります。
そしてエネルギーＥはそのＢＨが誕生した時のＢＨ質量Ｍ０にＣ＾２をかけた値、ＢＨの生まれた時の静止質量のエネルギー換算値となります。

そのようにしてＭが計算できる場合はそのホーキング放射は可能でありますが、Ｍが計算できない場合はそのホーキング放射は禁止される、とそういう事になります。
式で書きますと
（Ｅ－⊿Ｅ）＾２＞＝Ｐ＾２＊Ｃ＾２　となり、
左辺が右辺より大きいか等しい場合のみが許されます。
そして等号が成立した場合はＢＨの質量Ｍはゼロになる、つまり「ＢＨは消滅した」という事になります。

以上の内容がホーキング放射の許容条件、あるいは禁止則となります。
そうしてこれは当方の主張「ＢＨのホライズン直径がＬｐ未満になった時点でホーキング放射は一旦とまる」という事とは何の関係もなく、自然が、宇宙がもっている「決まり事」となります。

さて、今までの話からＢＨが消滅可能である唯一の条件が明らかになりました。
それは「最後の最後にこのＢＨに飛びこんだニュートリノによってそれまでこのＢＨが持っていた運動量がゼロに戻されるのと同時にまたこのＢＨの全エネルギーＥをちょうど打ち消すようなエネルギーをそのニュートリノが運ぶことが出来た場合」という事になります。

それはつまり、このＢＨが今まで放出した全てのホーキング放射の運動量ベクトルのベクトル和を今回のニュートリノは知っていて、その合計されたベクトルと真逆の方向に運動量ベクトルを、その絶対値は同じ値に設定し、また同時に自分がもつエネルギーをこれから飛び込むことになるＢＨがもつ全エネルギーＥと同じ値に出来る、という事であります。

そして当方の主張は「ホーキング放射の様なランダムプロセスでそのような事が起きる確率は１を無限大で割った値、つまりゼロである」と言うものであります。
・・・・・
以上をもちまして「ＢＨは消滅する事が出来ない」と言う事の証明になります。


注１
ＢＨは大きさを持ちます。
マイクロＢＨとて同様であります。
そうしてホーキング放射を考えた時に、ＢＨにななめ入射したニュートリノが持っていた運動量はＢＨに角運動量を与えるのではないのか？と言う疑問は、ホーキング放射のシミュレーションモデルを考えている時からの問題認識であります。

しかしながら、「角運動量の保存則までを考慮に入れたＢＨの消滅条件を出す事」は当方の技量を上回っており、手に余る問題となります。
従いまして今回「従来のエネルギー保存則のみでの計算方法に対して、新しく運動量保存則を加味した場合でのＢＨの消滅条件を出せた」という所あたりが、当方の分相応の所かと思われます。

注２
詳細な計算は省きますが、ＢＨ質量がプランク質量の４７．４％未満になると、今回の条件（その時のＢＨ質量に応じて一番放射頻度が多いと予想されるエネルギーでの放射）ではホーキング放射が出来なくなるという計算結果になっています。


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