さて、提示したホーキング放射のモデルで寿命の計算は一応出来るようになりました。
しかしながら、ずうっと言ってきた問題「仮想粒子の到達距離の話」の決着がまだついていない様です。
それでこのページではその事について今回提示したモデルを使って検討してみます。
まずはエネルギーと時間の不確定性関係。
ΔＥ＊Δｔ＝ｈ/２程度というのが厳しめの数値の模様です。＜－－リンク
ちなみにこのページではｈはすでにプランク定数を２＊Ｐｉで割っているものとします。
さて例によって中心から距離ｒの位置にある粒子生成点を取り上げます
まずはｒをホライズン半径Ｒｓで割ってＸとします。
その位置の温度Ｔｒはホライズン温度Ｔｓを使ってＴｒ＝Ｔｓ＊（１/Ｘ^２）と書けます。
Ｔｓが出ましたので、プランクの放射則にその値をいれると、Ｔｓでのスペクトルが出てくるのでした。
そのスペクトルのピークの位置はΔＥ/2＝ hν = 2.82 Ｋｂ・Ｔ です。＜－－リンク
ただしここで、真空から借りたエネルギーはΔＥですが、２つの仮想粒子に等分に分けられるので、粒子一つ当たりのエネルギーはΔＥ／２となります。
そうなりますと仮想粒子の存在時間ΔｔはΔｔ＝（ｈ/2)/ΔＥ＝（ｈ/2)/(2*2.82・Ｋｂ・Ｔｒ）＝（ｈ/2)/(2*2.82・Ｋｂ＊Ｔｓ／Ｘ^２）。
ホライズン側に飛んだ粒子の飛行距離Δｌは速度を光速とするとΔｌ＝Ｃ＊（ｈ・Ｘ^２）/(４・２．８２・ｋｂ・Ｔｓ）
Ｔｓ＝（ｈ・Ｃ^３）／（８・Ｐｉ・Ｋｂ・Ｍ・Ｇ）を入れて整理すると
Δｌ＝（（２・Ｐｉ・Ｘ^２）／２．８２）＊（Ｍ・Ｇ／Ｃ^２）
Ｒｓ＝２・（Ｍ・Ｇ／Ｃ^２）を使って
Ｙ＝Δｌ/Rsを求めます。
ここでＹはＲｓ単位系（勝手にそう呼んでいるのです。）で表した飛行継続距離となり、
Ｙ＝（Ｐｉ／２．８２）・Ｘ^２＝1.114＊X^2となります。
これで温度Ｔｒで一番多く生成される仮想粒子の飛行距離が計算できました。
次に例のＢＨ到達可能性を示す円錐を考えます。
ＢＨまでの一番長い距離はその円錐を作っている接線であり、その接線の長さはＸをつかってｓｑｒｔ（Ｘ＾２－１）となります。
それで、Ｙの値がこのｓｑｒｔ（Ｘ＾２－１）より大きければ仮想粒子はＢＨに到達可能なのだが、短いと到達する前に仮想粒子は消滅する、そういう事になります。
それで、比率１．１１４Ｘ^２／ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）の値を調べる事になります。
ここでまたしてもWolfram|Alphaさんの出番です。＜－－リンク
上記の式をコピペして極小値と書いてリターン。
Ｘ＝１．４１４２１の時に２．２２８と返ってくるはずです。
２．２２８が最悪条件ですので、幸いなことに一番多く発生する仮想粒子は円錐の側面を含み、円錐の中のエリアに飛んでいればＢＨに到達できると、そう判断できます。
しかしながら、この粒子のエネルギー量の２．２２８倍となった仮想粒子の存在可能時間は１/2.228倍となり、つまり円錐側面に沿った飛行距離がＢＨ到達ぎりぎりという事になります。
そして、それを超えたエネルギーを持った仮想粒子はこの円錐側面に沿って飛行した場合はＢＨに到達できない、という事になります。
つまり、一番多く発生する粒子の振動数の２．２２８倍を超える振動数に対応したエネルギーを持つ仮想粒子が発生した場合はＢＨに到達するのはより難しくなる、という事になります。
それらの仮想粒子は所定の飛行コースには入っているのですが、飛行時間が足りない、航続距離が足りないという事が起こりえます。
この部分の効果、エネルギーがある値より高い、高周波側の仮想粒子がＢＨに到達しにくくなる、と言う要素は前回・１４で提示した計算式には反映されていません。
したがってその効果を考慮にいれますと、ＢＨの寿命は前回提示した計算式よりは多少は延びるであろう、という事になります。
以下、最悪条件Ｘ＝１．４１４２１の時の状況を確認しておきましょう。
Wolframを使います。
プランクの放射則を簡略化した式x^3/(e^(x/100)-1)を使います。（注２）
ここでｘは振動数を表しています。
「x^3/(e^(x/100)-1) ,０＜ｘ＜1500」＜－－こんな風に書いて入力するとスペクトルグラフが出てきます。
ｘ＝２８２にグラフのピークがあります。
この振動数の２．２２８倍ですと６２８になります。
０からその値まで積分します。
「0から628の範囲でx^3/(e^(x/100)-1)を積分」を入力、
答えは５．７２６＊１０^８です。
ちなみに２０００あたりまでの積分でこのグラフは飽和し、値は６．４９４＊１０＾８です。
ですので振動数６２８までですと８８．２％ほどは問題なしですが、のこり１２％程度は予想したエネルギー放射に届かないという事になります。
このような状況はＸが１の方に、あるいは２の方に移動するにつれて改善されていくのは、「1から３の範囲で１．１１４Ｘ^２／ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）の極小値」と入力したグラフ形状から読み取る事が出来ます。
そうして付け加えますれば、もしそのグラフの値が１＜ｘ＜３の範囲でどこでも４以上であったとすれば「ホーキングさんが考えたこと・１４」で提示した式が何の修正をする必要もなく使えたという事であります。（注１）
円錐の側面にそった場合の評価は以上ですが、円錐の中心線に沿った場合はどうなるのでしょうか？
その場合は、比率１．１１４Ｘ^２／（Ｘ－１）の極小値を調べればよい事になります。
WolframによればＸ＝２で４．４５６がその値です。
つまり中心線近傍であればグラフは１＜Ｘ＜３にて４以上を十分にキープできている事になります。
振動数ｘ＝２８２＊４．４５６＝１２５６で同様に０から積分してみます。
「0から１２５６の範囲でx^3/(e^(x/100)-1)を積分」
答えは６．４８５＊１０＾８で飽和値の９９．８６％をカバーしますので、中心線近傍では実質上の問題はなくなります。
以上、見てきましたようにＸ＝１．４１付近で条件が最悪となり、スペクトルグラフの高周波側に相当する仮想粒子群にロスが発生する事が分かりました。
これは結局ホーキング放射の出力を下げる事につながり、ひいてはＢＨの寿命が前回掲示した式での計算よりも多少延びるであろう事が予想されます。
注１
さて、当方の感覚からしますと、ここでは自然は、宇宙は妙に渋ちんに見えます。
真空が貸し出すエネルギーと時間の積の値が中途半端に見えます。
中途半端に周波数カットをしている様に思えて仕方がないのです。
「ΔＥ＊Δｔ＝ｈ/２程度」では「太っ腹」ではありません。
ですからきっと宇宙はこの場合は「ΔＥ＊Δｔ＝ｈ程度」と対応してくれているに違いないものと、密かに思っております。
注２
元々のプランクの式にはｈとＫｂが入っていますが、それを１にします。
そうしてこの場合はホーキング温度、ではなく仮想温度Ｔを１００に設定しています。
そうすると hν = 2.82 Ｋｂ・Ｔの式からピーク周波数が２８２となる事が分かります。
この層の１０倍の温度を持つ仮想粒子発生層でも同様に考えます。
ピーク周波数は２８２０となりますが、後の議論は上記本文の繰り返しとなります。
そして各積分の値そのものは変わりますが、％で表された数値は変わる事はありません。
それが「プランクの式は温度に対しては形は変わらない」という事の意味になります。
ちなみに上記式に現れている hνのｈは生のプランク定数であって、２＊Piでは割られていませんが、幸いな事にこの部分のｈが式の変形の所に現れる、という事はないのです。
・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと 一覧＜－－リンク
http://archive.fo/XG2ih
http://archive.fo/u5Sd7
しかしながら、ずうっと言ってきた問題「仮想粒子の到達距離の話」の決着がまだついていない様です。
それでこのページではその事について今回提示したモデルを使って検討してみます。
まずはエネルギーと時間の不確定性関係。
ΔＥ＊Δｔ＝ｈ/２程度というのが厳しめの数値の模様です。＜－－リンク
ちなみにこのページではｈはすでにプランク定数を２＊Ｐｉで割っているものとします。
さて例によって中心から距離ｒの位置にある粒子生成点を取り上げます
まずはｒをホライズン半径Ｒｓで割ってＸとします。
その位置の温度Ｔｒはホライズン温度Ｔｓを使ってＴｒ＝Ｔｓ＊（１/Ｘ^２）と書けます。
Ｔｓが出ましたので、プランクの放射則にその値をいれると、Ｔｓでのスペクトルが出てくるのでした。
そのスペクトルのピークの位置はΔＥ/2＝ hν = 2.82 Ｋｂ・Ｔ です。＜－－リンク
ただしここで、真空から借りたエネルギーはΔＥですが、２つの仮想粒子に等分に分けられるので、粒子一つ当たりのエネルギーはΔＥ／２となります。
そうなりますと仮想粒子の存在時間ΔｔはΔｔ＝（ｈ/2)/ΔＥ＝（ｈ/2)/(2*2.82・Ｋｂ・Ｔｒ）＝（ｈ/2)/(2*2.82・Ｋｂ＊Ｔｓ／Ｘ^２）。
ホライズン側に飛んだ粒子の飛行距離Δｌは速度を光速とするとΔｌ＝Ｃ＊（ｈ・Ｘ^２）/(４・２．８２・ｋｂ・Ｔｓ）
Ｔｓ＝（ｈ・Ｃ^３）／（８・Ｐｉ・Ｋｂ・Ｍ・Ｇ）を入れて整理すると
Δｌ＝（（２・Ｐｉ・Ｘ^２）／２．８２）＊（Ｍ・Ｇ／Ｃ^２）
Ｒｓ＝２・（Ｍ・Ｇ／Ｃ^２）を使って
Ｙ＝Δｌ/Rsを求めます。
ここでＹはＲｓ単位系（勝手にそう呼んでいるのです。）で表した飛行継続距離となり、
Ｙ＝（Ｐｉ／２．８２）・Ｘ^２＝1.114＊X^2となります。
これで温度Ｔｒで一番多く生成される仮想粒子の飛行距離が計算できました。
次に例のＢＨ到達可能性を示す円錐を考えます。
ＢＨまでの一番長い距離はその円錐を作っている接線であり、その接線の長さはＸをつかってｓｑｒｔ（Ｘ＾２－１）となります。
それで、Ｙの値がこのｓｑｒｔ（Ｘ＾２－１）より大きければ仮想粒子はＢＨに到達可能なのだが、短いと到達する前に仮想粒子は消滅する、そういう事になります。
それで、比率１．１１４Ｘ^２／ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）の値を調べる事になります。
ここでまたしてもWolfram|Alphaさんの出番です。＜－－リンク
上記の式をコピペして極小値と書いてリターン。
Ｘ＝１．４１４２１の時に２．２２８と返ってくるはずです。
２．２２８が最悪条件ですので、幸いなことに一番多く発生する仮想粒子は円錐の側面を含み、円錐の中のエリアに飛んでいればＢＨに到達できると、そう判断できます。
しかしながら、この粒子のエネルギー量の２．２２８倍となった仮想粒子の存在可能時間は１/2.228倍となり、つまり円錐側面に沿った飛行距離がＢＨ到達ぎりぎりという事になります。
そして、それを超えたエネルギーを持った仮想粒子はこの円錐側面に沿って飛行した場合はＢＨに到達できない、という事になります。
つまり、一番多く発生する粒子の振動数の２．２２８倍を超える振動数に対応したエネルギーを持つ仮想粒子が発生した場合はＢＨに到達するのはより難しくなる、という事になります。
それらの仮想粒子は所定の飛行コースには入っているのですが、飛行時間が足りない、航続距離が足りないという事が起こりえます。
この部分の効果、エネルギーがある値より高い、高周波側の仮想粒子がＢＨに到達しにくくなる、と言う要素は前回・１４で提示した計算式には反映されていません。
したがってその効果を考慮にいれますと、ＢＨの寿命は前回提示した計算式よりは多少は延びるであろう、という事になります。
以下、最悪条件Ｘ＝１．４１４２１の時の状況を確認しておきましょう。
Wolframを使います。
プランクの放射則を簡略化した式x^3/(e^(x/100)-1)を使います。（注２）
ここでｘは振動数を表しています。
「x^3/(e^(x/100)-1) ,０＜ｘ＜1500」＜－－こんな風に書いて入力するとスペクトルグラフが出てきます。
ｘ＝２８２にグラフのピークがあります。
この振動数の２．２２８倍ですと６２８になります。
０からその値まで積分します。
「0から628の範囲でx^3/(e^(x/100)-1)を積分」を入力、
答えは５．７２６＊１０^８です。
ちなみに２０００あたりまでの積分でこのグラフは飽和し、値は６．４９４＊１０＾８です。
ですので振動数６２８までですと８８．２％ほどは問題なしですが、のこり１２％程度は予想したエネルギー放射に届かないという事になります。
このような状況はＸが１の方に、あるいは２の方に移動するにつれて改善されていくのは、「1から３の範囲で１．１１４Ｘ^２／ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）の極小値」と入力したグラフ形状から読み取る事が出来ます。
そうして付け加えますれば、もしそのグラフの値が１＜ｘ＜３の範囲でどこでも４以上であったとすれば「ホーキングさんが考えたこと・１４」で提示した式が何の修正をする必要もなく使えたという事であります。（注１）
円錐の側面にそった場合の評価は以上ですが、円錐の中心線に沿った場合はどうなるのでしょうか？
その場合は、比率１．１１４Ｘ^２／（Ｘ－１）の極小値を調べればよい事になります。
WolframによればＸ＝２で４．４５６がその値です。
つまり中心線近傍であればグラフは１＜Ｘ＜３にて４以上を十分にキープできている事になります。
振動数ｘ＝２８２＊４．４５６＝１２５６で同様に０から積分してみます。
「0から１２５６の範囲でx^3/(e^(x/100)-1)を積分」
答えは６．４８５＊１０＾８で飽和値の９９．８６％をカバーしますので、中心線近傍では実質上の問題はなくなります。
以上、見てきましたようにＸ＝１．４１付近で条件が最悪となり、スペクトルグラフの高周波側に相当する仮想粒子群にロスが発生する事が分かりました。
これは結局ホーキング放射の出力を下げる事につながり、ひいてはＢＨの寿命が前回掲示した式での計算よりも多少延びるであろう事が予想されます。
注１
さて、当方の感覚からしますと、ここでは自然は、宇宙は妙に渋ちんに見えます。
真空が貸し出すエネルギーと時間の積の値が中途半端に見えます。
中途半端に周波数カットをしている様に思えて仕方がないのです。
「ΔＥ＊Δｔ＝ｈ/２程度」では「太っ腹」ではありません。
ですからきっと宇宙はこの場合は「ΔＥ＊Δｔ＝ｈ程度」と対応してくれているに違いないものと、密かに思っております。
注２
元々のプランクの式にはｈとＫｂが入っていますが、それを１にします。
そうしてこの場合はホーキング温度、ではなく仮想温度Ｔを１００に設定しています。
そうすると hν = 2.82 Ｋｂ・Ｔの式からピーク周波数が２８２となる事が分かります。
この層の１０倍の温度を持つ仮想粒子発生層でも同様に考えます。
ピーク周波数は２８２０となりますが、後の議論は上記本文の繰り返しとなります。
そして各積分の値そのものは変わりますが、％で表された数値は変わる事はありません。
それが「プランクの式は温度に対しては形は変わらない」という事の意味になります。
ちなみに上記式に現れている hνのｈは生のプランク定数であって、２＊Piでは割られていませんが、幸いな事にこの部分のｈが式の変形の所に現れる、という事はないのです。
・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと 一覧＜－－リンク
http://archive.fo/XG2ih
http://archive.fo/u5Sd7
