少し前に約数の個数の求め方について記事(参考[1])を書いたが、約数の個数や総和について証明を探している人がいたので、参考のため証明を掲載した。どちらの証明も高等学校以上の内容なので、中学生が受験で(1)(2)を必要とする場合は(1)(2)のみを覚え、証明は無視するとよい。参考[1]でも書いたが、『0でない数aの0乗は1である。』という定義を知っていれば、中学生でも証明を理解できるかもしれない。高校生以上には簡単な証明だ。
(1)の解答は簡潔さのために上述のようにしたが、良くいえば詳しく、悪く言えばくどく論述すると「(1)の解説」のようになる。実際に(1)の証明問題がでたら、解答のような記述で十分である。
ある難関私立高校の入試問題では『200の約数の総和を求めよ。(答えは465)』というのがあった。(2)を知らないと標準時間内で解答するのは難しい。上記の解答のように(2)の説明は高等学校の内容なので、このような出題は高校数学の先取り的出題といえ、悪問である。
ある難関校受験向けの数学問題集には(1)(2)が紹介されているが、特殊な知識がなければ標準時間で解答が困難な問題は出題すべきでない。高等学校側はきちんと中学校の学習範囲内で受験者の思考力を問う作問をすべきだ。
参考
[1]世界変動展望 著者:"自然数の約数の個数の求め方" 世界変動展望 2009.1.10