オイラーの公式、起承転結。13

ドモアブルの公式
　　cos nz＝((cos z＋i sin z)ⁿ＋(cos z－i sin z)ⁿ)/2　　　(1)
　　sin nz＝((cos z＋i sin z)ⁿ－(cos z－i sin z)ⁿ)/2i　　　(2)
に、
nz＝x の仮定、すなわち z＝x/n を代入すると、
　　cos x＝((cos x/n＋i sin x/n)ⁿ＋(cos x/n－i sin x/n)ⁿ)/2
　　sin x＝((cos x/n＋i sin x/n)ⁿ－(cos x/n－i sin x/n)ⁿ)/2i
となる。
n→∞ のとき、cos x/n＝1、 sin x/n＝x/n だから、
　　cos x＝lim_n→∞((1＋i･x/n)ⁿ＋(1－i･x/n)ⁿ)/2
　　sin x＝lim_n→∞((1＋i･x/n)ⁿ－(1－i･x/n)ⁿ)/2i
となる。これを次のように表示すると、
　　cos x＝lim_n→∞((1＋ix/n)ⁿ＋(1＋(－ix)/n)ⁿ)/2　　　　(3)
　　sin x＝lim_n→∞((1＋ix/n)ⁿ－(1＋(－ix)/n)ⁿ)/2i　　　　(4)
となり、
右辺の分子 (1＋ix/n)ⁿ、(1＋(－ix)/n)ⁿ に指数関数の形が見えてくる。

e^x＝lim_n→∞(1＋x/n)ⁿ
は実数 x についての定義（eは自然対数の底、ネイピア数）だが、虚数についても成り立つと拡張する。
すなわち、
e^ix＝lim_n→∞(1＋ix/n)ⁿ
とする。
同じように、
e^－ix＝lim_n→∞(1＋(－ix)/n)ⁿ
である。
(3)(4)は次のようになる。
　　cos x＝(e^ix＋e^－ix)/2　　　(5)
　　sin x＝(e^ix－e^－ix)/2i　　　(6)

この式は、自由調和振動の微分方程式の特殊解から導かれた1740年の式、
　　cos x＝(e^ix＋e^－ix)/2
それを拡張した1743年の式、
　　cos x＝(e^ix＋e^－ix)/2
　　sin x＝(e^ix－e^－ix)/2i
をモアブルの公式からとらえ直したものである。これまでは外的関係にあった弧と虚の指数の関係を、「消失する弧」（ドモアブルの公式の右辺）を「虚の指数」に変換することによって、内的に示したものである。
オイラーは(1)(2)から(5)(6)を導いた後、次のように述べている。
「これらの公式により、虚指数量が実の弧の正弦と余弦に帰着される様式が理解される」。