π と ｅ の関係

　円周率 π と対数の底 ｅ とは、何の関係もないようでいて、実は次のような美しい関係がある。ここで ｉ とは虚数単位である。

　　　　ｅ のｉπ乗＝cosπ+ｉ sinπ＝－1

　高校生のころ、この式を見て私は感動した。

　同じころ次のような数学の問題に遭遇した。

　　　　「π の ｅ 乗と ｅ の π 乗は、どちらが大きいか？」

　一生懸命に考えたが、ついに私はこの問題を解けなかった。両者は相当近い値になる。計算機で計算すると、小数点以下かなりのところまでが同じなのだが、その先が違ってくる。

　自分は数学には自信があるとうそぶく輩に、この問題を解かせてみたけれども、誰も解けなかった。

　これまでに私の周囲でこの問題が解けたのは２人だけである。１人は某国立大学の数学科の教授、もう１人は某予備校の数学の教師だった。

　２人の解法はまったく違うものだった。われこそはという読者には挑戦してみてほしい。この書き込みには、解法コメントのみ受け付けます。