回転行列の導きかた

　「回転行列の覚えかた」にコメントをいただきましたので、

　この際、回転行列の導きかたについても、書いておきます。



　導きたい式 (回転行列の式) は、これ (↓) です。

R(θ) ＝	| cosθ -sinθ |	…… (*)
	| sinθ 　cosθ |

　xy 平面上の回転を考える。

　　　x 軸方向の単位ベクトルを ex (e sub x, e の右下に小さく x と書く)
　　　y 軸方向の単位ベクトルを ey (e sub y, e の右下に小さく y と書く)

と定義すれば、

　それぞれの単位ベクトルを xy 平面上で (反時計まわりに) θ 度回転すると、

　　　ex は 座標 ( cosθ, sin θ) に、
　　　ey は 座標 ( -sinθ, cosθ) に移動

する。これは次の式で「まとめて」書ける。

R(θ)×( ex, ey ) ＝	| cosθ -sinθ |
	| sinθ 　cosθ |

　ここで、( ex, ey ) は単位行列 Ｅ であるから、

　　　Ｒ(θ)×( ex, ey ) ＝ Ｒ(θ)×Ｅ ＝ Ｒ(θ)

　したがって、式 (*) を得る。



　ここで、xy 平面上にあるすべての点は ex と ey の合成ベクトルで表せるから、式 (*) は xy 平面上のすべての座標について、反時計回りにθ度回転したあとの座標を与える式である。すなわち、式 (*) は回転行列の内容 (成分) を示す式にほかならない。

(証明終)



■追記
　この証明は私が大学入試 (模試等ではなく本番) の際、試験場で考えたものです。なにかの文献に載っていたものではありません。したがって、「正しくない」可能性があります。試験等でこの証明を用いるのであれば、本当にこの証明で「正しい」のか、自分で確かめてください。
　結果が正しいことは私が確認していますが、「たまたま」正しい結果 (＝成分) が得られたのかもしれません。
　なお、入試では証明は要求されておらず、回転の計算 (…を用いた処理) が要求されていたにすぎません。つまり、試験官 (採点者) は私の証明の当否を判断していません。