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- Yahoo 知恵袋への質問
3Dプリンタってありますよね？
あれで、クラインの壺の作成は可能なのでしょうか？
- 唯一の回答
無理です。
クラインの壺を三次元空間内に構成しようとすると面と面の交差が必ず起こってしまいます。
「この交差してる部分は無視しよう」という見方でクラインの壺のおおよその性質を考察できる模型を作ることは可能です。
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16トンの理解では，4 次元で存在するものを３次元で見せることは，絶対的に不可能であって，「3D プリンタだから」無理なのではない．この図ではしっぽが壁を喰い破っているところがルール違反．しかし，この「模型」が一般にクラインの壺としてまかり通っているのだから，これはこれでいいんじゃないの?
ちなみに Wikipedia では
*****クラインの壺（くらいんのつぼ、英語: Klein bottle）は、境界も表裏の区別も持たない（2次元）曲面の一種で、主に位相幾何学で扱われる。
ユークリッド空間に埋め込むには4次元、曲率0とすると5次元が必要である。3次元空間には通常の方法では埋め込み不可能だが、射影して強引に埋め込むと、自己交差する3次元空間内の曲面になる。その形を壺になぞらえたものである。
***中略***
3次元空間内に実現するためには自己交差が必要であるが、クラインの壺そのものに交差はない。そのことを強調するために自己交差の部分をぼかして図示されることがある。
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トップの図は http://news.livedoor.com/article/detail/7206387/ から拝借した．透明な ABS 樹脂を買って作れば良いのだが，ここではメッシュにして中がどうなっているか推測できるようにしている．もっと細く粗いメッシュのほうが分かりやすいが，廉価なプリンタではこの程度が安全かもしれない．
(メッシュにしなくても) 機械工作でこれを一体で作るのは不可能に近いように思うが，3D プリンタは断面図を下から上へと積み上げる方式なので，こうしたものは簡単だ．CAD ソフトなど使わず，xyz 座標を指定する方が初心者には易しそう．
クラインの壷を知ったのは高校時代だったが，メビウスの帯に比べると美しくないと思った．ルール違反のせいだろう．
クラインの瓶ともいう．形からの連想で，高校のガキどもはクラインの溲瓶とか言っていた．