奇数の奇跡

奇数の奇跡とは、奇数の逆数のプラスマイナスを交互にたしていくと円周率πと関係するライプニッツの級数を指す。「奇数の奇跡」という表現を初めて知った。（『ニュートンとライプニッツの微分積分』吉田信夫著）
　　π/4=1－1/3＋1/5－1/7＋1/9－1/11+1/13－1/15＋………

結びつけているのは次の無限等比級数である。
　　1－x²＋x⁴－x⁶ ＋x⁸－x¹⁰+ x¹²－x¹⁴＋………

右辺は上の級数のそれぞれの項を0から1まで定積分するものである。
　　x－x³/3＋x⁵/5－x⁷/7＋x⁹/9－x¹¹/11+ x¹³/13－x¹⁵/15＋………

左辺は上の級数の和を求めて、これを0から1まで定積分する。
　　1/(1＋x²)

これは三角関数の置換積分で行われるが、このとき円周率πが自然と出てくる。
　　0=tan0 , 1=tanπ/4

不思議な関係式である。奇数の奇跡！
　　π/4=1－1/3＋1/5－1/7＋1/9－1/11+1/13－1/15＋………