三日月の幅3

離心円の半径を1、離心率をeとする。

図で、EB＝1、BA＝eである。火星と太陽の距離として、正割EAではなく半径EBを用いることによって、FA＝1である。FB＝√(1－e²）となり、三日月の幅EFは、
EF＝1－√(1－e²）
となる。
ここで、√(1－e²）の近似式を考える。e²まで（e²の1次までの）の近似（注）で、
√（1－e²）＝1－1/2･e²
したがって、
EF
＝1－(1－1/2･e²）
＝1/2･e²
ここにe＝0.09265を代入すると、
EF
＝0.00429となり、
切り取られるべき三日月の幅と実際に切り取られた幅の値に違いはない。

しかし、e⁴まで（e²の2次まで）の近似（注）を考えると、
√(1－e²）＝1－1/2・e²－1/8･e⁴
したがって、
EF
＝1－(1－1/2・e²－1/8･e⁴）
＝1/2・e²＋1/8･e⁴
ここにe＝0.09265を代入すると、
EF
＝0.00429＋0.00001
＝0.00430
となり、
切り取られるべき三日月の幅と実際に切り取られた幅の値に違いが生じていたことがわかる。

次に、一般的な三日月の幅についてみておこう。

（注）
（1＋x)ⁿ＝1＋nx＋1/2･n(n－1)x²＋…
において、n＝1/2、x＝－e²とおく。