無理数とピタゴラスの定理とピタゴラス数（受験の親指15）

ピタゴラスの定理は証明とともに知っているものとする。直角三角形の斜辺の長さをc,残りの辺の長さをa,bとするとc*c=a*a+b*bがピタゴラスの定理である

此の式を満足する整数の組み合わせをピタゴラス数という。(3,4,5),(5,12,13)などが有名。

さてここで数学論理（もっともな考え方）を付け加える。無理数を表すために使われる根号（ルート）記号とそれをつかって表現できる論理をしめす。ルート記号√aはその数aは√aを２乗すると得られる数を示す。その数を括弧(?)とすると(?)*(?)=aである。2次方程式x**2=aをといて得られるxをしめしている。方程式を解かなくても得られるので分かりやすい。

これを知っているとピタゴラスの定理をみたす数（整数だけではなく無理数）がいくらでも表現できる。

さてどうするか

ピタゴラスの定理の式　1+1=2　に対する辺の長さ（1,1,√２）

　　　　　　　　　　　1+2=3　に対する辺の長さ (1,√2,√3)

1+3=4　　　　　　　　　 (1,√3,2=√4)

ルートのなかに足し算の数を書けばOK

三角関数の公式は三角形の面積公式とピタゴラスの定理が分かっていれば簡単（受験の親指１４）

数学は基礎から論理を積み上げる学問である。数学は一つの論理的な帰結を多面的な視点から考察する。小中高の学年ごとの学習過程を順番に学んでいくことが基礎からの積み上げではない。いまの日本のカリキュラムは数学的な論理で学習過程の構成を行っていない。どちらかといえば公務員試験で落ちこぼれて文科省へ入省した頭の悪い役人の理解できる構成の内容だ。また多面的な視点とは別解がたくさんあるにとどまらず、まったく別の数式表現で本質的に同じ論理を表している。

　いいたいことは次のようなことだ。三角形の面積が底辺かける高さの半分であることは小学校でまなぶ。特例として直角三角形について考えると直角をはさむ辺を底辺と高さにとったときに容易に想像できる長方形の面積の半分が三角形の面積になるから直感的にわかる。一般の三角形の時には高さと考える辺で三角形を二つに分ければそれぞれが直角三角形になることからそれらを足し合わせればよいことがわかる。どんな三角形でも直角三角形に分けられるということは別の視点からは直角三角形の斜辺の長さと角度をきめればサイン（高さ）とコサイン（底辺）が決まりそれらの積で面積が求められることを示している。面積計算を図的に考えると分かりやすいか三角関数で表すと分かりやすいかと理解のしやすさで比較する事自体が数学の論理の多面性を示している。また別の見方としては直角三角形の斜辺ではない辺を背中合わせにした2等辺三角形の面積を求める式を書くと三角関数の2倍角の公式が簡単に導ける。このようにサインは三角形の面積を求めるために必要な高さを三角形の角度と辺の長さから求める関数であることがみえてくる。小学校で学ぶことと高校で学ぶことが同じ数学的帰結であることは人の頭の中で積み上げる論理の多面性の本質である。

　受験生のために付け加えておくとコサインの公式（余弦定理など）はピタゴラスの定理の式を斜辺と角度からサイン、コサインをつかって求められる辺の長さをつかって書きなおすと得られる。

　数学の本質は三角形の面積やピタゴラスの定理の式のように辺の積で表される量は角度の関数である三角関数でも表現できるということである。

これ以外の多面性　関数f(x)と数列a(n)の類似性,微分と漸化式,一次関数と等差数列、指数関数と等比数列、反比例と級数、反比例と逆関数の微分

これらの関係を理解しておけば学校数学の分野別けとそれを順番に学ぶことが如何に無駄なことかかわるであろう

分数の割り算 4分の３を5分の２で割るには4分の３にわる分数をひっくり返した2分の５をかける理由

3/4÷2/5　をどう計算するか？

まず割る分数の分子が1の場合つまり　3/4÷1/5　について考える

1/5に5をかけると1になるので、3/4に5をかけて1で割ったものに等しい。つまり割る分数の分母をかけたものが答え

2/5に5をかけると2になるので、これが割る数になる。つまり3/4に5をかけて2で割ったものが答えになる

統計学の相関は因果律を説明しない

統計学を教える人はあまり深く物理を理解していない。彼らはデータに相関があると因果関係を持ち込みたくなるようだ。とくに寿命と相関があると因果関係を期待しがちだ。歩く速度が速い人は長生きするというものだ。wikipedia で相関係数の誤用や誤解についてにはAとBとの相関係数が高いときに１）AがBを引き起こす２）BがAを引き起こす　３)CがAとBとを引き起こす　の３つが考えられ３の誤用に注意すべきとしている。健康だから運動能力が高く歩行速度が速く長寿であるかもしれないことが隠れている。つまり歩行速度と寿命はどちらも健康が原因で、相関をとる前から強く関係しているということだ。歩行速度が速ければ健康といえるだけだ。調べるべき順序は１００m走の速さと歩行速度の関係、それから１００m走の速さと寿命の関係だ。データサイエンティストという看板の人には注意してほしい。

場合の数を加えるときと掛けるとき（受験の親指13）

理解の道筋　

まず簡単な実例で考える、計算手順を意識する、実際の計算を後回しにすると式であらわせる。現実の問題で考える　の順で考える。そして複数の方法で解く。

複数解が出てきたら、何が違って、何が同等か、を意識して比較、対比する。

数学はこの考えが入れ子になっているのでおもしろい。

実例　3桁の数を算用数字で表すとき種類はいくらか。題意なら000から999 である。しかし頭の桁の0は書かないので0から999。その種類は1から999までに0を1こ足して1000種類となる

別の計算手順は　

a)1桁の数の数字は　0を含めて　10種

b)2桁の数の数字は10から99までで(99-10)+1=90種, 1桁の数字の種類を足して100種

c)3桁の数の数字の種類も同じように考えられる

さらに別の計算手順は

d)100の位の数字は0から9までの10種、

e)10の位の数字も0から9、

f)1の位も同じで0から9で、

g)全種類はこれらを掛け合わして10x10x10=1000

計算の方法が違って見えるのは

a).b),c)はそれぞれがまったく違う場合なので、全部の場合を求めるときには加え合わす

d)のそれぞれの数字（場合）について,e)のそれぞれの数字（場合）が考えられて,さらにf)のそれぞれの数字（場合）が考えられるのですべてを掛け合わせて,g)全部の場合が求められる

sin(2πft)の引数と微分（受験の親指12）

sin関数の引数、つまりsin(x)のxはよく使う普通の数だ.ただ周期関数な

ので　x=2π≒3.14=360度のときに sin(x)=0=sin(0)である。もちろんsin(π)=0だが。

x=1を角度で表すと180度/π≒57.3度　だ

物理などで時間tの周期関数を表すときには

周波数fを使ってsin(2πft)または

周期Tをつかってsin(2πt/T)となる

時間tで微分すると合成関数の微分となり

y=sin(2πft)のとき

1階微分　dy/dt=2πf・cos(2πft)

2階微分　d^2y/dx^2=-(2πf)^2・sin(2πft)

である。