無理数とピタゴラスの定理とピタゴラス数（受験の親指15）

ピタゴラスの定理は証明とともに知っているものとする。直角三角形の斜辺の長さをc,残りの辺の長さをa,bとするとc*c=a*a+b*bがピタゴラスの定理である

此の式を満足する整数の組み合わせをピタゴラス数という。(3,4,5),(5,12,13)などが有名。

さてここで数学論理（もっともな考え方）を付け加える。無理数を表すために使われる根号（ルート）記号とそれをつかって表現できる論理をしめす。ルート記号√aはその数aは√aを２乗すると得られる数を示す。その数を括弧(?)とすると(?)*(?)=aである。2次方程式x**2=aをといて得られるxをしめしている。方程式を解かなくても得られるので分かりやすい。

これを知っているとピタゴラスの定理をみたす数（整数だけではなく無理数）がいくらでも表現できる。

さてどうするか

ピタゴラスの定理の式　1+1=2　に対する辺の長さ（1,1,√２）

　　　　　　　　　　　1+2=3　に対する辺の長さ (1,√2,√3)

1+3=4　　　　　　　　　 (1,√3,2=√4)

ルートのなかに足し算の数を書けばOK

三角関数の公式は三角形の面積公式とピタゴラスの定理が分かっていれば簡単（受験の親指１４）

数学は基礎から論理を積み上げる学問である。数学は一つの論理的な帰結を多面的な視点から考察する。小中高の学年ごとの学習過程を順番に学んでいくことが基礎からの積み上げではない。いまの日本のカリキュラムは数学的な論理で学習過程の構成を行っていない。どちらかといえば公務員試験で落ちこぼれて文科省へ入省した頭の悪い役人の理解できる構成の内容だ。また多面的な視点とは別解がたくさんあるにとどまらず、まったく別の数式表現で本質的に同じ論理を表している。

　いいたいことは次のようなことだ。三角形の面積が底辺かける高さの半分であることは小学校でまなぶ。特例として直角三角形について考えると直角をはさむ辺を底辺と高さにとったときに容易に想像できる長方形の面積の半分が三角形の面積になるから直感的にわかる。一般の三角形の時には高さと考える辺で三角形を二つに分ければそれぞれが直角三角形になることからそれらを足し合わせればよいことがわかる。どんな三角形でも直角三角形に分けられるということは別の視点からは直角三角形の斜辺の長さと角度をきめればサイン（高さ）とコサイン（底辺）が決まりそれらの積で面積が求められることを示している。面積計算を図的に考えると分かりやすいか三角関数で表すと分かりやすいかと理解のしやすさで比較する事自体が数学の論理の多面性を示している。また別の見方としては直角三角形の斜辺ではない辺を背中合わせにした2等辺三角形の面積を求める式を書くと三角関数の2倍角の公式が簡単に導ける。このようにサインは三角形の面積を求めるために必要な高さを三角形の角度と辺の長さから求める関数であることがみえてくる。小学校で学ぶことと高校で学ぶことが同じ数学的帰結であることは人の頭の中で積み上げる論理の多面性の本質である。

　受験生のために付け加えておくとコサインの公式（余弦定理など）はピタゴラスの定理の式を斜辺と角度からサイン、コサインをつかって求められる辺の長さをつかって書きなおすと得られる。

　数学の本質は三角形の面積やピタゴラスの定理の式のように辺の積で表される量は角度の関数である三角関数でも表現できるということである。

これ以外の多面性　関数f(x)と数列a(n)の類似性,微分と漸化式,一次関数と等差数列、指数関数と等比数列、反比例と級数、反比例と逆関数の微分

これらの関係を理解しておけば学校数学の分野別けとそれを順番に学ぶことが如何に無駄なことかかわるであろう