指数関数とその逆関数の対数関数について（受験の親指８）

指数関数と対数関数とは
数学は多面的な物の見方をユニバーサルな記号で表した文章だ。
視点というカメラの３脚の置き場所を変えることだ。違う見方どころではなくこんなものと同じか！と感じる
等号＝は左辺の内容を右辺で定義したものだ。辞書の見出しが左辺で定義が右辺だ
等号がつながっていれば考えの起転結、３段飛びになる。
起
webでの指数の表し方（＾）に慣れることから（この記号を使うのが世界で初めてでしかも便利なら数学の記号として採用されるのだが）
2x2=4=2^2, 2x2x2=8=2^3, 1÷2=1/2=0.5=2^(-1), 1÷2÷2=1/4=0.25=2^(-2)
すると
4x8=(2^2)x(2^3)=2^(2+3)=2^5, 8÷4=(2^3)÷(2^2)=2^(3-2)=2^1
掛け算や割り算が足し算と引き算になっている
この時の2を底と呼ぶ
転
4x3
はどうする
3=2^x
になるxが簡単に表現できればよいのだが、できないので計算の方法を示すだけで我慢する。つまり
x=log2(3)　ここで2とあらわす底は数学の教科書では下付きの数字で表している
この等式はxは2をx乗すれば3になる数であることを示している。左辺の求め方を右辺で示している。数字は示していない。
すると
4x3=2^(2+log2(3))
結
これを
4x2x(3/2)=2^(2+1+log2(3/2))=2^(3+log2(3/2))
とすると3/2は２より小さいのでp=log2(3/2)としてpは1より小さい数になる
4x3=2^(3+p)

話を次にすすめよう
eを自然対数の底とすると2<e<3である
2^x <e^x <3^x
で
-2 -1 0 1 2
2^x　1/4 1/2 1 2 4
e^x
3^x 1/9 1/3 1 3 9

証明なしに微係数について考えると
d(e^x)/dx=e^x 　　(1)
が自然対数eの性質である
2^x=e^loge(2^x)=e^xloge(2)<e^x
で　0<loge(2)<1
3^x=e^loge(3^x)=e^xloge(3)>e^x
で　1 (1)が特別なことを示している

逆関数の微分という頭に浮かべるだけで話が大きく展開する不思議な話に進む
起
y=e^x　　　　　(2)
これをxで微分すると
dy/dx=e^x=y 　　(3)
yで微分すると
1=dy/dy=d(e^x)/dy=e^x・dx/dy
dx/dy=1/(e^x)=1/y 　　　(4)
x=loge(y)だから
d{loge(y)}/dy=1/y
変数yを変数xと書き直すと（ここまでつかったxとはなんの関係もないから）
d{loge(x)}/dx=1/x　　　　　(5)
対数関数（逆関数）の微分である
また(3)と(4)を掛けあわせて
(dy/dx)(dx/dy)=1 (6)
である
(1)以外は計算に使っていない