2つの原則

ハミルトンは複素数の二つの元1とiに対して垂直な第3の元jに気づく。
ハミルトンが複素数から類推して3元数を構想したとき、端的にいえば、2つの原則があった。
1　体の原則　加減乗除について閉じていること
2　絶対値の原則　絶対値の乗積は、乗積の絶対値に等しいこと
　 |p||q|=|pq|
複素数で2つの原則を確認しておこう。
1　かけ算（だけ）で確認する。複素数同士のかけ算の結果は複素数になる。閉じている。
(a+bi)(x+yi)=(ax-by)+(ay+bx)i
2 |p|²|q|² =|pq|²で確認する。
p=a+bi , q=x+yi,pq=(ax-by)+(ay+bx)i
(a²+b²)(x²+y²)=(ax-by) ²+(ay+bx) ²　成り立っている（ラグランジュの恒等式）。
3元数a+bi+cjとx+yi+zjはどうだろうか。2つの原則と照らしあわせてみよう。
注
(ax-by) ²+(ay+bx) ²
=a²x²-2abxy+b²y²+a²y²+2abxy+b²x²
=a²x²+b²y²+a²y²+b²x²
=a²(x²+y²)+b²(x²+y²)
=(a²+b²)(x²+y²)