前のページで示した様に今回想定している制約条件はプランクスケール近傍までＢＨの質量が減少した時に有効になるものですから、計算の単位はプランクスケールに合わせるのが妥当でしょう。
それはつまり「自然単位系を使う」という事になります。（注１）
１、通説の寿命式の導出
さてまずは通常の寿命式の導出で自然単位系を使った場合を示します。
参考とする導出手順は相変わらず「Hawking 輻射とブラックホールの蒸発」山内さんです。
前のページで示した様にホーキング温度Ｔは
Ｔ＝1/(8＊(pi)*M)
Stefan-Boltzmann の法則より温度 T，半径 r の物体が単位時間あたりに放つエネルギー E は
E=((pi)^2*T^4)/(60)*(4*(pi)*r^2)
Schwarzchild ブラックホールの半径 r は
r=2GM/C^2=2M
および，温度 T は
Ｔ＝1/(8＊(pi)*M)
代入して
E=((pi)^2*T^4)/(60)*(4*(pi)*r^2)
＝((pi)^2*(1/(8＊(pi)*M)^4)/(60)*(4*(pi)*(2M)^2)
ここでウルフラムに登場願う
実行アドレス
答えは
1/(15360*M^2*(pi))
ちなみに同時にプロットされているグラフが単位時間あたりにBHがホーキング放射で出すエネルギーを示している。
最初のグラフではM=0の時に出力エネルギーが発散する事を示している。
しかしながらそこでの継続時間がゼロなので、出力エネルギーは発散しない。
２番目のグラフはそのあたりの状況が分かる様に拡大表示されている。
これを見ると２プランク質量あたりからホーキング放射で出てくるエネルギーが増加し始め、１プランク質量ではすでに暴走状態になっている事がわかる。
それで寿命式の導出に戻ると、ブラックホールが単位時間あたりに放つエネルギーを質量の欠損によるものとして
E=M*C^2 より
dE=dM*C^2
C=1 なので
dE=dM
従って単位時間当たり（＝１プランク秒あたり）のＢＨの質量減少率は
-dM/dt=E
=1/(15360*M^2*(pi))
と通説の諸式運用ではそうなっていますのでこれに従います。
変数分離をすると
-(15360*M^2*(pi))dM=dt
左辺をウルフラムで積分すると
-(15360*M^2*(pi))dM 積分
実行アドレス
https://ja.wolframalpha.com/input?i=-%2815360*M%5E2*%28pi%29%29dM%E3%80%80%E7%A9%8D%E5%88%86
答えは
-5120*(pi)*M^3+定数
右辺の積分はｔ+定数
それでこの式を
-5120*(pi)*M^3+定数＝ｔ
と書くか、あるいは
M^3＝Ｍ0^3-1/(5120*(pi))*t ・・・①式
（M0 は t = 0 のときの星の質量）と書き
ブラックホールが蒸発するまでの時間は M = 0 として
t = 5120*(pi)*Ｍ0^3
と書くかは、好みの問題か。
もちろん、この時の質量Ｍの単位はプランク質量Pmで、出てくる時間はプランク秒Pt
一応ここまでで通説での寿命式は導出できたことになります。
以下はその寿命式を使ってのグラフ表示での状況確認です。
①式を書きなおして（Mo=３を代入して）
y^3=3^3-1/(5120*(pi))*x ・・・②式
これは３プランク質量のＢＨが消滅するまでの質量の減り方のグラフの表示です。
y^3=3^3-1/(5120*(pi))*x の0<x<500000,0<y<4.0 プロット
実行アドレス
全てのＢＨはこのグラフに相似的な質量の減り方をして、最後に爆発的にエネルギーを放出し消え去る、という通説の根拠がこのグラフの解釈となっています。（注２）
縦軸がＢＨの質量を示しますが、ｘ＝ｔ＝０が初期状態でその時のＢＨの質量は３プランク質量（ｙ＝３）です。
そのＢＨが長い時間をかけてｙ＝１まで質量を減らした後のＢＨの質量の減らし方＝ホーキング放射のエネルギーの出し方は次のようになります。
y^3=3^3-1/(5120*(pi))*x の0<x<500000,0<y<1.0 プロット
実行アドレス
３プランク質量の寿命曲線と比較してみると、ＢＨの全寿命の残り５％程の時間の間に全質量の３分の１がエネルギーに変わって放出される、という事がわかります。
まあそうであれば、通説の寿命式のみを見ていた場合は「ＢＨは最後に爆発して消え去る」と主張するのも「無理からぬこと事」であります。
ちなみに３プランク質量のＢＨが消滅するまでの寿命は②式の左辺をゼロにしてウルフラムに入れると求まります。
0=3^3-1/(5120*(pi))*x
実行アドレス
https://ja.wolframalpha.com/input?i=0%3D3%5E3-1%2F%285120*%28pi%29%29*x
答えは１３８２４０*(pi)だそうです。
数字に直すと４３４２９３．７６８・・・ですね。
さてこの寿命、(15360*M^2*(pi))が積分対象の関数でしたが、それを直接定積分する事でも求まります。
(15360*M^2*(pi)) の０から３まで積分
実行アドレス
「積分の視覚的表現」があるので積分対象の関数と積分の状況が良く分かります。
それでグラフで青く色付された部分の面積が「３プランク質量のＢＨが消滅するまでの寿命」を表します。
そうして答えは４．３４２９＊１０＾５＝４３４２９０
答えが違うじゃないか、と言う人は「表示桁数を増やす」をポチっとしてください。
４３４２９３．７６８・・・
はい、確かに同じになりました。
以上が「通説の寿命式の導出とその確認」となります。
注１：自然単位系： https://archive.md/RoxL0 ：
『宇宙論
Myers (2016) によると、宇宙論において使われている自然単位系では光速度 c・換算プランク定数 ħ・真空の誘電率 ε0・ボルツマン定数 kB を1とする。これまでと同様に、物理量はエネルギー（ギガ電子ボルト GeV）の冪で表す。』に準拠する。
注２：ＢＨの寿命曲線が相似であること
初期質量が１プランク質量の寿命曲線をプロットします。
y^3=1^3-1/(5120*(pi))*x の0<x<18000,0<y<1.333 プロット
実行アドレス
この曲線と初期質量が３プランク質量の寿命曲線は同じ形をしている、相似なのです。
この事から分かる様に「全てのＢＨの寿命曲線は相似である」という事になります。
