フェルミオンが放出される粒子である場合は放射スペクトルは黒体放射スペクトルになるであろう、と言う事はホーキングさんが言われる通りでありましょう。
しかしながら、光が放出される、とするとそれはＢＨがローカットフィルターとなり、ホーキング温度Ｔで一番多く放射されるはずの振動数νpの１４倍以上の振動数でないとＢＨは吸収せず、したがってホーキング放射も起こらない、と言うのが前回の結論でありました。
その事は放出される最低のエネルギーレベルが従来想定していた平均のエネルギーレベルの１４倍程度になる、ということでもあり、従って対生成するであろう仮想粒子の寿命は１４分の１となり、その粒子の飛行継続距離も１４分の１程度に落ちるという事になります。
そうなりますと、従来は「多層の粒子放出層モデル」でホライズン半径の２倍程度の放出層の厚さを考慮すればよかろう、としてきましたが、とてもそれほどの層の厚さを想定する事は出来ない、と言う事になります。
飛行距離の議論は「ホーキングさんが考えたこと・１５」で行いましたが、それと同じ議論を今度は「光の場合は飛行継続距離が１４分の１になる」という条件を入れて再度行う事になります。
「１５」での議論は温度Ｔでの放出数がピークとなる振動数νpを指標とし、その粒子の飛行距離がホライズンまでの距離の何倍になっているかで、黒体放射スペクトルを示す放射粒子について、十分な数の粒子がホライズンに到着できるかどうかを判断していました。
それに対して今回は状況が異なり、ＢＨに吸収されるであろう最低エネルギーの振動数をもつ光が判断基準を与えます。
この光がとにかくＢＨに到達する事、そのような条件をまずは調べましょう。
それは振動数νpを指標とした場合にその飛行距離がホライズンまでの距離の１４倍以上必要である、と言う事になります。
それぐらいホライズンに近い場所からでないと、仮想粒子がホライズンに到達できない、到達する前に仮想粒子は消滅してしまう、と言う事になります。
さてそれで「１５」では２つのケースについて考察しました。
飛行コースとしてホライズンに到達可能な円錐の外面に沿って飛ぶ場合（このコースが最悪条件です）、それからその円錐の中心軸近傍を飛行する場合（これは最良条件です）の２つでした。
今回も同様に「１５」を参照しながら、この２つのケースで見ていきましょう。
円錐の外面に沿って飛ぶ場合（最悪条件）
比率１．１１４Ｘ^２／ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）＝１４として、Wolfram|Alphaでその根の値を調べます。
「１４＝１．１１４Ｘ^２／ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）の根」と入力して
Ｘ＝10/557*SQRT(70*(3500-3*SQRT(1326639)))＝1.003201を得ます。
↑
仮想粒子（光子）はＸ＝１から１．００３２０１という範囲内の位置での発生のみが許容される事がわかります。
円錐の中心軸近傍を飛行する場合（最良条件）
比率１．１１４Ｘ^２／（Ｘ－１）＝１４として根を求めます。
「１４＝１．１１４Ｘ^２／（Ｘ－１）の根」
Ｘ＝-10/557*(SQRT(83510)-350)＝1.095494
↑
今度はＸが１から１．０９５４９４という範囲内の位置での発生までが許容され、相当に許容範囲が広がる事が分かります。
さて、こう言う場合はたいてい平均値を使うのが妥当であります。
（今回のここでの議論はその程度の厳密さしか持たず、ある程度の目安を確認するという事であります。）
それで求めるＸは
Ｘ＝（1.003201＋1.095494）/2=1.0493475≒１．０４９
こうしてＸの許容範囲が１＜Ｘ＜１．０４９と決定できました。
フェルミオンの場合は１＜ｘ＜３を許容していましたので、それに比べると随分と光の場合は仮想粒子の発生可能な許容範囲が狭く、かつホライズンに近い、と言う事が特徴的であります。
次にこの範囲で「ホーキングさんが考えたこと・１４」の議論を参照して(１/Ｘ^６)（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ）を積分します。
「(１/Ｘ^６)（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ） 積分範囲１から１．０４９」を入力し、
答えは０．０３４１を得ます。
フェルミオンの時は同様に積分した結果、得られた補正数値は０．１０１８でしたので、光の場合はその値の３３．５％、約３分の１になる事がわかりました。
結論
フェルミオン放射に対してホーキング放射が光である場合は、エネルギー増加による仮想粒子の存在時間の短縮、ひいては仮想粒子の飛行距離が短くなるという影響を考慮する必要があり、その結果フェルミオンの場合よりも許容される仮想粒子発生層が薄くなり、その事によって放射効率がフェルミオンに比べて約３分の１になるという事になります。
（ちなみに前回検討したのは、光放射の場合にはＢＨがローカットフィルターとして働く為に黒体放射スペクトルでの放射が実現できず、その分放射効率が落ちる、と言う話であり、今回のこの話とはまた別の話であります。
つまり、ＢＨがフェルミオンではなく光を放射する、とした場合にはフェルミオンの場合にはなかった、新たに発生する事になる２つの放射効率を阻害する要因が絡んでくるのです。
それはＢＨが光に対してはローカットフィルターになる、それから光の場合は仮想粒子の飛行距離が落ちという事であります。）
追伸
さてそう言う訳で、以下、前回「１７」で提示した寿命関連の記述は次のように修正される事になります。
↓
『従来のＢＨの寿命式はこうでした。
ｔ＝（8.4１E-17）＊Ｍ＾３（Ｓｅｃ）
この式ですとＭ＝２５００００Ｋｇ（２５０トン）に到達してから寿命まではｔ＝１．３１４ｓｅｃです。
これが前回まで提案してきた「多層の仮想粒子発生モデル」ですとほぼ１０倍のｔ＝１３．１４ｓｅｃに伸びます。＜－－フェルミオンの場合はこれでＯＫ。
↓
でも光の場合には、ここが１０倍からさらに３倍した３０倍に修正する必要がある、というのが今回の検討結果になります。
そしてその結果はｔ＝１３．１４ｓｅｃから３９．４２ｓｅｃｔに伸びる事になります。
さらにＢＨが放出する粒子は光子のみである、とすると寿命は上記の６．８５＊１０＾１１倍に伸びて２９．１万年程となります。＜－－ＢＨが光の低周波数側を受け入れない事による結果です。
↓
上記のｔ＝１３．１４ｓｅｃーー＞３９．４２ｓｅｃが加味されその結果、寿命は２９．１万年が８５．６万年程にさらに伸びる、という事になります。』
同様に「１７」の注２の記述も以下の様に修正されます。
『注２
ＢＨが光子のみを放出と言う事で計算すると、最後の１秒で８．３Ｋｇの質量が光子（γ線）に変わります。
それは７．４６Ｅ＋１７（Ｊ）程度でありＴＮＴ換算で１７８メガトン、水爆３個程度に相当する爆発が起こりそうです。
ちなみに最後の瞬間から２年前の１日間ではＴＮＴ換算で３７６トンのエネルギーがγ線に変換されます。
それは１．５７＊１０＾１２（Ｊ）/日＝１８２０５ＫＷ。
一般世帯４５５０軒相当のエネルギーになります。
そうであれば、ＢＨの蒸発の観測、というのはこの辺りの状況が限界かと思われます。
その時のＢＨ質量は３３１６Ｋｇ（車２台分程度），ホライズン半径は４．９２＊１０＾－２４（ｍ）。
陽子半径が８．７５＊１０＾－１６（ｍ）ですから、まあＢＨというものはいずれにせよ大変なしろものではあります。』
ホーキング放射が実際にはニュートリノを放出するプロセスがどれくらいの割合を占めて、光を放出する割合がどれくらいであるのか、あるいはあったのか、ＢＨの寿命計算に与える影響を見てもそれはとても重要なポイントである、と言う事が分かります。
しかしながら、それについての情報、手がかりは残念ながら今の所はあまりない様であります。
加えて申し添えますれば、ＢＨの最後の１秒間に放出される事になるエネルギーがγ線であれば人類にとってそれは観測可能な事象となりますが、ニュートリノであった場合は、その観測は非常に難しくなる、それはまるで「無音の爆発」の様であります。
注１
以下、上記追伸のさらに重力赤方偏移による修正となります。＜－－リンク
ＢＨから放射される光は重力赤方偏移を受けます。
wikiから、仮想粒子放出点ｒでの時間間隔（時間の流れのスピード）＝ＢＨ重力圏外の観測点の時間間隔＊ＳＱＲＴ（１－Ｒｓ／ｒ）。
放出点で振動数νを持つ光の周期は１/νになります。
従って１/ν(放出点）＝１/ν(観測点）＊ＳＱＲＴ（１－Ｒｓ／ｒ）
観測されるエネルギーＥはＥ＝（生ｈ）＊ν(観測点）であり、観測点での光の振動数に比例します。
そうしてν(観測点）＝ν(放出点）＊ＳＱＲＴ（１－Ｒｓ／ｒ）によって放出される光の振動数ν(放出点）に対しては重力による補正を行いν(観測点）を求める必要があります。
今回はｒ＝１．０４９＊Ｒｓと決めましたので、この値で修正値ＳＱＲＴ（１－Ｒｓ／ｒ）を計算します。
ｒ＝１．０４９＊Ｒｓを代入してＳＱＲＴ（１－Ｒｓ／ｒ）＝０．２１６１・・・が求まります。
以上より上記記述は最終的に以下の様になります。
『注２
ＢＨが光子のみを放出と言う事で計算すると、最後の１秒で８．３Ｋｇの質量が光子（γ線）に変わります。
それは１．６１Ｅ＋１７（Ｊ）程度でありＴＮＴ換算で３８．５メガトン、水爆０．６個程度に相当する爆発が起こりそうです。
↑
観測点ではこうなります。
そうして、我々は対象ＢＨの重力圏外に位置する観測点でしか、このような小さなＢＨの状況は観測できないのであります。
↓
ちなみに最後の瞬間から２年前の１日間ではＴＮＴ換算で８１トンのエネルギーがγ線に変換されます。
それは３．３９＊１０＾１１（Ｊ）/日＝３９３５ＫＷ。
一般世帯９６２軒相当のエネルギーになります。』
そうして重力赤方偏移は観測されるエネルギーについての修正にはなりますが、ＢＨの寿命そのものには影響を与える事はなく、寿命の計算は従来の考え方で問題はありません。
さてそう言う訳で、従来の計算では原始ＢＨの最後は１秒間で２５０トンの質量がγ線に変わり、大変な爆発現象が観察される、と期待されていましたが、実際に状況を詳細に検討してみますれば、２５０トンが８．３Ｋｇになり、さらには重力赤方偏移の効果によって観測されるエネルギーは１．８ｋｇ相当の質量がγ線としてエネルギーに変換された様に見えるだけの様です。
そうであればこれはＢＨの最後の姿というものが、本当にいつのまにか「大爆発ではなく、線香花火になってしまった様なもの」であります。
以下、ご参考までに。
・銀河中心ブラックホールの近傍で一般相対性理論を検証＜－－リンク
http://archive.fo/J68su
注２
[そうして重力赤方偏移は観測されるエネルギーについての修正にはなりますが、ＢＨの寿命そのものには影響を与える事はなく、寿命の計算は従来の考え方で問題はありません。]
↑
こう書きましたが、ＢＨタイム、[ＢＨがホライズン近傍で感じている寿命]はこの記述の通りでありましょうが、さて、[ＢＨの重力圏を離れた外部の観測者が測定する寿命]が本当にＢＨタイムと同一であるのかどうか、そこの所は多少の疑問が残る所でもあります。
・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと 一覧＜－－リンク
http://archive.fo/I2zbR
http://archive.fo/Fq8Dz
しかしながら、光が放出される、とするとそれはＢＨがローカットフィルターとなり、ホーキング温度Ｔで一番多く放射されるはずの振動数νpの１４倍以上の振動数でないとＢＨは吸収せず、したがってホーキング放射も起こらない、と言うのが前回の結論でありました。
その事は放出される最低のエネルギーレベルが従来想定していた平均のエネルギーレベルの１４倍程度になる、ということでもあり、従って対生成するであろう仮想粒子の寿命は１４分の１となり、その粒子の飛行継続距離も１４分の１程度に落ちるという事になります。
そうなりますと、従来は「多層の粒子放出層モデル」でホライズン半径の２倍程度の放出層の厚さを考慮すればよかろう、としてきましたが、とてもそれほどの層の厚さを想定する事は出来ない、と言う事になります。
飛行距離の議論は「ホーキングさんが考えたこと・１５」で行いましたが、それと同じ議論を今度は「光の場合は飛行継続距離が１４分の１になる」という条件を入れて再度行う事になります。
「１５」での議論は温度Ｔでの放出数がピークとなる振動数νpを指標とし、その粒子の飛行距離がホライズンまでの距離の何倍になっているかで、黒体放射スペクトルを示す放射粒子について、十分な数の粒子がホライズンに到着できるかどうかを判断していました。
それに対して今回は状況が異なり、ＢＨに吸収されるであろう最低エネルギーの振動数をもつ光が判断基準を与えます。
この光がとにかくＢＨに到達する事、そのような条件をまずは調べましょう。
それは振動数νpを指標とした場合にその飛行距離がホライズンまでの距離の１４倍以上必要である、と言う事になります。
それぐらいホライズンに近い場所からでないと、仮想粒子がホライズンに到達できない、到達する前に仮想粒子は消滅してしまう、と言う事になります。
さてそれで「１５」では２つのケースについて考察しました。
飛行コースとしてホライズンに到達可能な円錐の外面に沿って飛ぶ場合（このコースが最悪条件です）、それからその円錐の中心軸近傍を飛行する場合（これは最良条件です）の２つでした。
今回も同様に「１５」を参照しながら、この２つのケースで見ていきましょう。
円錐の外面に沿って飛ぶ場合（最悪条件）
比率１．１１４Ｘ^２／ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）＝１４として、Wolfram|Alphaでその根の値を調べます。
「１４＝１．１１４Ｘ^２／ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）の根」と入力して
Ｘ＝10/557*SQRT(70*(3500-3*SQRT(1326639)))＝1.003201を得ます。
↑
仮想粒子（光子）はＸ＝１から１．００３２０１という範囲内の位置での発生のみが許容される事がわかります。
円錐の中心軸近傍を飛行する場合（最良条件）
比率１．１１４Ｘ^２／（Ｘ－１）＝１４として根を求めます。
「１４＝１．１１４Ｘ^２／（Ｘ－１）の根」
Ｘ＝-10/557*(SQRT(83510)-350)＝1.095494
↑
今度はＸが１から１．０９５４９４という範囲内の位置での発生までが許容され、相当に許容範囲が広がる事が分かります。
さて、こう言う場合はたいてい平均値を使うのが妥当であります。
（今回のここでの議論はその程度の厳密さしか持たず、ある程度の目安を確認するという事であります。）
それで求めるＸは
Ｘ＝（1.003201＋1.095494）/2=1.0493475≒１．０４９
こうしてＸの許容範囲が１＜Ｘ＜１．０４９と決定できました。
フェルミオンの場合は１＜ｘ＜３を許容していましたので、それに比べると随分と光の場合は仮想粒子の発生可能な許容範囲が狭く、かつホライズンに近い、と言う事が特徴的であります。
次にこの範囲で「ホーキングさんが考えたこと・１４」の議論を参照して(１/Ｘ^６)（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ）を積分します。
「(１/Ｘ^６)（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ） 積分範囲１から１．０４９」を入力し、
答えは０．０３４１を得ます。
フェルミオンの時は同様に積分した結果、得られた補正数値は０．１０１８でしたので、光の場合はその値の３３．５％、約３分の１になる事がわかりました。
結論
フェルミオン放射に対してホーキング放射が光である場合は、エネルギー増加による仮想粒子の存在時間の短縮、ひいては仮想粒子の飛行距離が短くなるという影響を考慮する必要があり、その結果フェルミオンの場合よりも許容される仮想粒子発生層が薄くなり、その事によって放射効率がフェルミオンに比べて約３分の１になるという事になります。
（ちなみに前回検討したのは、光放射の場合にはＢＨがローカットフィルターとして働く為に黒体放射スペクトルでの放射が実現できず、その分放射効率が落ちる、と言う話であり、今回のこの話とはまた別の話であります。
つまり、ＢＨがフェルミオンではなく光を放射する、とした場合にはフェルミオンの場合にはなかった、新たに発生する事になる２つの放射効率を阻害する要因が絡んでくるのです。
それはＢＨが光に対してはローカットフィルターになる、それから光の場合は仮想粒子の飛行距離が落ちという事であります。）
追伸
さてそう言う訳で、以下、前回「１７」で提示した寿命関連の記述は次のように修正される事になります。
↓
『従来のＢＨの寿命式はこうでした。
ｔ＝（8.4１E-17）＊Ｍ＾３（Ｓｅｃ）
この式ですとＭ＝２５００００Ｋｇ（２５０トン）に到達してから寿命まではｔ＝１．３１４ｓｅｃです。
これが前回まで提案してきた「多層の仮想粒子発生モデル」ですとほぼ１０倍のｔ＝１３．１４ｓｅｃに伸びます。＜－－フェルミオンの場合はこれでＯＫ。
↓
でも光の場合には、ここが１０倍からさらに３倍した３０倍に修正する必要がある、というのが今回の検討結果になります。
そしてその結果はｔ＝１３．１４ｓｅｃから３９．４２ｓｅｃｔに伸びる事になります。
さらにＢＨが放出する粒子は光子のみである、とすると寿命は上記の６．８５＊１０＾１１倍に伸びて２９．１万年程となります。＜－－ＢＨが光の低周波数側を受け入れない事による結果です。
↓
上記のｔ＝１３．１４ｓｅｃーー＞３９．４２ｓｅｃが加味されその結果、寿命は２９．１万年が８５．６万年程にさらに伸びる、という事になります。』
同様に「１７」の注２の記述も以下の様に修正されます。
『注２
ＢＨが光子のみを放出と言う事で計算すると、最後の１秒で８．３Ｋｇの質量が光子（γ線）に変わります。
それは７．４６Ｅ＋１７（Ｊ）程度でありＴＮＴ換算で１７８メガトン、水爆３個程度に相当する爆発が起こりそうです。
ちなみに最後の瞬間から２年前の１日間ではＴＮＴ換算で３７６トンのエネルギーがγ線に変換されます。
それは１．５７＊１０＾１２（Ｊ）/日＝１８２０５ＫＷ。
一般世帯４５５０軒相当のエネルギーになります。
そうであれば、ＢＨの蒸発の観測、というのはこの辺りの状況が限界かと思われます。
その時のＢＨ質量は３３１６Ｋｇ（車２台分程度），ホライズン半径は４．９２＊１０＾－２４（ｍ）。
陽子半径が８．７５＊１０＾－１６（ｍ）ですから、まあＢＨというものはいずれにせよ大変なしろものではあります。』
ホーキング放射が実際にはニュートリノを放出するプロセスがどれくらいの割合を占めて、光を放出する割合がどれくらいであるのか、あるいはあったのか、ＢＨの寿命計算に与える影響を見てもそれはとても重要なポイントである、と言う事が分かります。
しかしながら、それについての情報、手がかりは残念ながら今の所はあまりない様であります。
加えて申し添えますれば、ＢＨの最後の１秒間に放出される事になるエネルギーがγ線であれば人類にとってそれは観測可能な事象となりますが、ニュートリノであった場合は、その観測は非常に難しくなる、それはまるで「無音の爆発」の様であります。
注１
以下、上記追伸のさらに重力赤方偏移による修正となります。＜－－リンク
ＢＨから放射される光は重力赤方偏移を受けます。
wikiから、仮想粒子放出点ｒでの時間間隔（時間の流れのスピード）＝ＢＨ重力圏外の観測点の時間間隔＊ＳＱＲＴ（１－Ｒｓ／ｒ）。
放出点で振動数νを持つ光の周期は１/νになります。
従って１/ν(放出点）＝１/ν(観測点）＊ＳＱＲＴ（１－Ｒｓ／ｒ）
観測されるエネルギーＥはＥ＝（生ｈ）＊ν(観測点）であり、観測点での光の振動数に比例します。
そうしてν(観測点）＝ν(放出点）＊ＳＱＲＴ（１－Ｒｓ／ｒ）によって放出される光の振動数ν(放出点）に対しては重力による補正を行いν(観測点）を求める必要があります。
今回はｒ＝１．０４９＊Ｒｓと決めましたので、この値で修正値ＳＱＲＴ（１－Ｒｓ／ｒ）を計算します。
ｒ＝１．０４９＊Ｒｓを代入してＳＱＲＴ（１－Ｒｓ／ｒ）＝０．２１６１・・・が求まります。
以上より上記記述は最終的に以下の様になります。
『注２
ＢＨが光子のみを放出と言う事で計算すると、最後の１秒で８．３Ｋｇの質量が光子（γ線）に変わります。
それは１．６１Ｅ＋１７（Ｊ）程度でありＴＮＴ換算で３８．５メガトン、水爆０．６個程度に相当する爆発が起こりそうです。
↑
観測点ではこうなります。
そうして、我々は対象ＢＨの重力圏外に位置する観測点でしか、このような小さなＢＨの状況は観測できないのであります。
↓
ちなみに最後の瞬間から２年前の１日間ではＴＮＴ換算で８１トンのエネルギーがγ線に変換されます。
それは３．３９＊１０＾１１（Ｊ）/日＝３９３５ＫＷ。
一般世帯９６２軒相当のエネルギーになります。』
そうして重力赤方偏移は観測されるエネルギーについての修正にはなりますが、ＢＨの寿命そのものには影響を与える事はなく、寿命の計算は従来の考え方で問題はありません。
さてそう言う訳で、従来の計算では原始ＢＨの最後は１秒間で２５０トンの質量がγ線に変わり、大変な爆発現象が観察される、と期待されていましたが、実際に状況を詳細に検討してみますれば、２５０トンが８．３Ｋｇになり、さらには重力赤方偏移の効果によって観測されるエネルギーは１．８ｋｇ相当の質量がγ線としてエネルギーに変換された様に見えるだけの様です。
そうであればこれはＢＨの最後の姿というものが、本当にいつのまにか「大爆発ではなく、線香花火になってしまった様なもの」であります。
以下、ご参考までに。
・銀河中心ブラックホールの近傍で一般相対性理論を検証＜－－リンク
http://archive.fo/J68su
注２
[そうして重力赤方偏移は観測されるエネルギーについての修正にはなりますが、ＢＨの寿命そのものには影響を与える事はなく、寿命の計算は従来の考え方で問題はありません。]
↑
こう書きましたが、ＢＨタイム、[ＢＨがホライズン近傍で感じている寿命]はこの記述の通りでありましょうが、さて、[ＢＨの重力圏を離れた外部の観測者が測定する寿命]が本当にＢＨタイムと同一であるのかどうか、そこの所は多少の疑問が残る所でもあります。
・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと 一覧＜－－リンク
http://archive.fo/I2zbR
http://archive.fo/Fq8Dz
