Black Hole Entropy from Near–Horizon Microstates
Andrew Strominger 以下部分訳：数式については原典を参照願います。
ホライズンに近い場所のミクロ状態からのブラックホールエントロピー
概要
地平線に近い形状が局所的であるが、必ずしも全体的である必要はないブラックホール、AdS3（3次元反ドジッター空間）が考慮されます。
AdS3の場の量子論が共形場理論であるという事実を使用して、状態の漸近的成長からブラックホールエントロピーを微視的に計算します。
エントロピーのベッケンシュタイン-ホーキング面積公式との正確な数値的一致が見られます。
結果は、一貫した重力の量子論に関係し、弦理論や超対称性を使用しません。
1.はじめに
ブラックホールのエントロピーがブラックホールの地平線近くのミクロ状態によって説明されるべきであるという考えは、大きな魅力と長い歴史を持っています[1-9]。
この理由の1つは、地平線がプランク面積ごとに1自由度のオーダーであるというデモンストレーションが、エントロピーの面積式の統計的説明を提供することです。
そのような描写は、情報が原因でアクセスできないブラックホールの内部よりも表面に安全に保存されるという点で、情報パズルにも光を当てる可能性があります。
多くのことが学ばれていますが、これらの線に沿ったエントロピーを正確に統計的に説明する試みは、量子重力の紫外線問題と、それにもかかわらず、大きな近距離のために高周波である無数の低エネルギーモードの両方によって妨げられてきました。地平線のredshifts1。
実際には、どのモードをカウントするか、カウントしないかは明確ではなく、結果はカットオフに依存しているように見えます。
最近、ブラックホールエントロピーの統計的導出が弦理論のいくつかのケースで与えられました[10]。
この導出は、ブラックホールが点状の物体として扱われ、そのミクロ状態が特定の共形場の理論によってカウントされる弱結合領域への継続を採用しました。
この構造は、ブラックホールが効果的に点状ではなく、明確な地平線を持っている体制において、ミクロ状態が何らかの意味で地平線の近くにあるかどうかの問題に直接対処していませんでした。
この論文では、地平線に近い形状が局所的にAdS3であるブラックホールのコンテキストでこの問題に対処します。
これには、弦理論の例の多くと3次元BTZブラックホールが含まれます[11]。
AdS3の励起を数えることにより、ブラックホールのエントロピーを微視的に導き出します。
私たちの導出は、微分同相写像不変式論の一般的な特性のみに依存しており、弦理論や超対称性を使用しません。
私たちの基本的な結果は、以前の文献の結果からすぐにわかります。
少し前に、ブラウンとヘノー[12]は、AdS3の漸近対称群がヴィラソロ代数（の2つのコピー）によって生成され、したがってAdS3の一貫した重力の量子理論は共形場理論であるという注目すべき観察を行いました2。
彼らはさらに、中心電荷の値をc = 3 2G√−Λとして計算しました。ここで、Gはニュートンの定数、Λは宇宙定数です。
この論文では、中心電荷cの共形場理論の状態の漸近成長にカーディの公式[14]を適用して、ブラックホールのエントロピーを微視的に計算します。
BekensteinHawking面積式との正確な一致が見られます。
ブラックホールのミクロ状態を説明する共形場の理論は、ブラックホールを囲む（1+ 1）次元の円柱上に存在します。
すべての情報はこのシリンダーにエンコードされており、地平線の外にとどまっているため、この画像では情報が失われることはありません。
このペーパーは次のように構成されています。
セクション2では、ブラウンとヘノーの結果をレビューします。
セクション3では、BTZブラックホールについて説明します。
セクション4では、地平線近くでAdS3に接近する他の関連するブラックホールについて説明します。
セクション5では、エントロピーが微視的に計算されます。
セクション6では、現在の研究をブラックホールエントロピーの他の導出と、弦理論における地平線に近いダイナミクスに関するマルダセナの最近の研究に関連付けます[13]。
最後にセクション7で説明します。
・・・・
3.BTZブラックホール
私たちの考慮事項が適用される重要な例は、BTZブラックホールです[11,15]。
このセクションでは、その顕著な特徴のいくつかを思い出します。詳細については、[15]を参照してください。
質量Mと角運動量Jのブラックホールのメトリックは、ds2 = −N 2 dt2 +ρ2（Nφdt+dφ）2 + r2です。
N2ρ2dr2、（3.1）
N 2 = r 2（r 2 − r 2 +）ℓ2ρ2、N
φ= −4GJρ2、ρ
2 = r 2 + 4GMℓ2− 1 2 r 2 +、r 2 +
= 8GℓpM2ℓ2− J 2、（3.2）
ここで、φの周期は2πです。
これらの測定基準は境界条件（2.4）に従い、したがってブラックホールは共形場理論のヒルベルト空間にあります。
ベッケンシュタイン-ホーキングブラックホールエントロピーは
S =エリア4G
=πq16GMℓ2+ 2r 2 + 4G。
M = J = 0ブラックホールで消滅するように、L0とL¯0の加法定数を選択すると便利です。その後、
M =1ℓ（L0 +L¯0）、（3.4）
角運動量は
J = L0 −L¯0。（3.5）
M = J = 0ブラックホールの測定基準は
ds2 = −r2ℓ2dt2 +r2dφ2+ℓ2r2dr2。 （3.6）
これは、負の質量M = − 1 / 8Gを持つAdS3メトリック（2.3）と同じではありません。
局所的には、3次元に一定の曲率メトリックが1つしかないため、これらは同等です。
しかし、それらは世界的に同等ではありません。
メトリックのファミリー（3.1）は、離散識別とそれに続く座標変換によって（2.3）から取得できます。
したがって、ブラックホールはトポロジー的にAdS3と同等ではありません。
Mを変化させてブラックホール解をAdS3に変形させようとすると、M = 0とM = − 1 / 8Gの間で裸の特異点が発生します。
非ゼロ質量のブラックホールを、M = 0ブラックホールによって記述される真空の励起と見なします。
これは、AdS3バキュームが果たす役割の問題を提起します。
この質問に対する美しい答えは[16]で与えられましたが、それは超対称性を必要とします。
超対称共形場の理論では、周期境界条件を持ち、過充電によって消滅するラモンド基底状態はM = 0です。
これをゼロ質量ブラックホール（3.6）で識別します。
Neveu-Schwarz基底状態には非周期的な境界条件があり、超対称ではありません。
質量シフトがあります
L0 =L¯
0 = − c24。 （3.7）
cの式（2.7）とMの式（3.4）を使用すると、Neveu-Schwarz基底状態のエネルギーは次のようになります。
M = − 1 / 8G、（3.8）
これにより、AdS3でそれを識別できます。
この同定のさらなる証拠は、共変的に一定のAdS3スピノールがφ→φ+2π（2π回転であるため）の下で反周期的であるのに対し、極値ℓM= Jブラックホール形状の共変的に一定のスピノールは周期的であるという事実から得られます[16 ]。
さらに、ユークリッド空間[17]で、（2.3）から（3.6）に関連する座標変換は、平面から円柱へのマップと同様に、tとφで指数関数的であることがわかります。
ローカルダイナミクスの理論では、空の空間にある非極値BTZブラックホールがホーキングを放射します。
ただし、高次元の例とは異なり、（無限大での適切な境界条件を使用して）放射浴と熱平衡にあるブラックホールに対応する安定した非極値エンドポイントがあります[18]。
これが可能なのは、AdS3の無限放射槽は、無限大での無限温度のレッドシフトにより有限のエネルギーを持っているためです。
AdS3共形場理論の一般的なハミルトニアン固有状態は、おそらくそのような平衡状態に対応します。
4.その他の例
ブラックホールのベッケンシュタイン-ホーキングエントロピーは、その地平線の面積にのみ依存します。
それを理解するために、ブラックホールのほぼ水平な形状だけが関係します。
したがって、この論文の考察は、ほぼ地平線の形状がグローバルな識別までのAdS3であるブラックホールに適用されます。
これには多くの例があります。
[10]の弦理論の文脈で考慮されている一例は、電荷Q1、Q5、および縦運動量nを持つ6次元の黒い弦です。
この黒いストリングの地平線に近い形状は、局所的にAdS3×S 3×M4であり、M4はK3またはT4のいずれかです[19]。
これは、S3×M4コンパクト化の大規模な弦状態とカルツァクラインモードの両方からの物質場の無限の塔を持つAdS3の量子重力と見なすことができます。
したがって、状態はヴィラソロ代数（2.6）の表現です。
この黒い紐に沿った縦方向はAdS3内にあります。
ブラックストリングは定期的に識別され、5次元でブラックホールを形成します。
その場合、ニアホライズンジオメトリはBTZブラックホールになります。
n = 0の場合、M = J = 0のブラックホールが得られ、一般的なブラックストリングは一般的なBTZブラックホールを生成します。
[20]では、4次元の極値ブラックホールを含む例が検討されています。ここで、U（1）は内部円から発生します。
ニアホライズンジオメトリには、AdS2上のU（1）バンドルが含まれます。
バンドルの形状はAdS3の商です。
離散識別グループは、完全に2つのSL（2、R）の1つに含まれます。
このような形状は[21]で検討されています。
5.ブラックホールエントロピーの微視的導出
大きなMの半古典的領域で、質量Mと角運動量JのAdS3真空の励起数を数えたいと思います。
（3.4）と（2.7）によれば、大きなMはnR + nL≫ c、（5.1）を意味します。ここで、nR（nL）はL0（L¯0）の固有値です。
中心電荷cを持つ共形場の理論の数状態の漸近的成長は、[14] S =2πrcnR6+2πrcnL6で与えられます。
（5.2）
（2.7）、（3.4）、（3.5）を使用すると、これはS =πrℓ（ℓM+ J）2G +rℓ（ℓM− J）2G、（5.3）であり、ベッケンシュタイン-ホーキングの結果（3.3 ）BTZブラックホール用。
6.以前の派生との関係
前のセクションの微視的導出は、重要な仮定に基づいています。必要な2 +1量子重力理論が存在する必要があります。
理論の詳細は重要ではありませんが、議論されているように、状態は微分同相写像の下で適切に動作する必要があります。
これらは、エントロピーの微視的導出が以前に与えられたそのような理論のいくつかの構成です。
これらを現在の導出と比較することは有益です。
1つ目は、純粋な2 +1重力でのエントロピーのカーリップの導出[7]です。
この理論には局所的な自由度がなく、トポロジカルなチャーンサイモン理論として書き直すことができます[22,23]。
それにもかかわらず、ブラックホールの地平線には、1 +1共形場理論によって記述される境界の自由度があります。
境界状態を列挙すると、ベッケンシュタイン-ホーキングエントロピーが得られます。
この境界共形場理論は異なる中心電荷（大きなブラックホールの場合はc〜6）を持っているため、ここで説明する共形場理論と同じではありません。
それにもかかわらず、アプローチ間には何らかの関係がある可能性があり、それをよりよく理解する必要があります。
この方向の関連する研究は[24]に現れ、地平線ではなく無限大の境界について、チャーン・サイモン理論を境界に存在するリウビル共形場理論として書き直すことができることが示されました。
弦理論への適応は[25]で議論されました。
2番目の例は、電荷Q1、Q5、およびnを持つ5次元弦理論のブラックホールです。
実際、[10]で、ブラックホールの状態がc = 6Q1Q5の共形場の理論によって記述されていることがわかりました。
有効な3次元理論ではℓ=2πα'√g（Q1Q5）1/4 / V1 / 4およびG-1 = 2V 1/4（Q1Q5）3/4 /πα'√gであるため、これは（2.7）と一致します。 4
ブラックホール共形場理論のこれら2つの導出の間の関係は何ですか？
弦理論のブラックホールには2つの説明があります。
1つは（ストリング補正された）超重力解として、もう1つは運動量nのQ1D-onebranesとQ5D-fivebranesの束縛状態としてです。
gQが大きいが、ストリング結合gが小さい場合、超重力解に関するストリング摂動理論は、一般に適切な説明を提供します。
gQが小さい場合、Dbrane摂動論は一般的に優れています。
2つの説明の有効な領域に重複がないように見える場合があります。
ただし、Dブレーンと超重力の記述には、地平線に近い小さなr領域の大きなgQに対して重複する有効領域があります[26]。
rが小さくても地平線が滑らかな場所なので超重力画像は良いです。
小さいrは低エネルギーを意味し、Dブレーンゲージ理論に対する高次元の補正が抑制されるため、Dブレーン画像も役立ちます。
ただし、gQが大きいため、この領域ではラージNゲージ理論です。
この観察は、[13]（AdSnへの興味深い一般化とともに）で、特定のスケーリング制限の導入により、より正確になりました（[19,27,25]も参照）。
この限界では、超重力側では、AdS3の弦の近原点理論のみが残りますが、Dブレーン側では、Dブレーンゲージ理論の共形場理論限界のみがあります。
さらに、これら2つの理論の同等性は、基底状態のグローバルSL（2、R）L⊗SL（2、R）R対称性と一致していることが注目されました[13]。
[12]で定義されているAdS3境界条件を使用すると、さらに一歩進んで、両側の完全な局所共形群の作用を関連付けることができます。
もちろん、弦理論は、この論文の考察をはるかに超えることを可能にします。
たとえば、理論の中心電荷（エントロピーに必要なのはこれだけです）だけでなく、すべての質量レベルでの正確な共形理論と縮退を決定できます。
7.ディスカッション
ブラックホールのエントロピーを説明している（数えている）状態は正確にどこにありますか？
AdS3共形場理論の状態は、（t、φ）円柱に関連付けられており、半径rの特定の値には関連付けられていません。
理論のダイナミクスは、rに依存する場を導入することなく、この円柱の進化の観点から説明できます。
この説明では、地平線を越えるものはなく、情報の損失もありません。
量子論の記述におけるrの消失は、純粋な2 + 1重力の文脈では驚くべきことではありません。なぜなら、それは境界の自由度しかない位相的理論だからです。
しかし、私たちの議論は、rのすべての値で新しい自由度を期待できる弦理論にも当てはまります。
これは、[28,29]で提唱されているホログラフィック原理の具体例です。
明示的な例で量子状態とダイナミクスの性質をより詳細に理解することは確かに興味深いでしょう。
Q5NSファイブブレーンとQ1基本弦のコンパクト化から作られた弦理論のブラックホールを考えてみましょう。
この場合、地平線に近い弦理論は、半従来型の世界面共形場理論で表すことができます。
レベルQ5SL（2、R）WZWモデル、コンパクト化からの離散識別[30,20,8]。
この理論の範囲はコンパクトではないため、よく理解されていません。
ただし、SL（2、R）= AdS3ターゲット空間での完全な共形群のアクションを利用して、より適切に編成できる可能性があります。
純粋な2+ 1重力のヒルベルト空間も、おそらくリウヴィル理論としての表現を使用して、よりよく理解する必要があります[24]。
謝辞
会話を刺激してくれたJ.マルダセナに感謝します。
・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと 一覧＜－－リンク
