宇宙の大きさ＝「宇宙図（２０１８年版）」＜－－リンク
宇宙の大きさ＝「宇宙図（２０１３年版）」＜－－リンク
いずれもダウンロードするのに少々時間がかかりますが、それだけの価値はありますので、是非ともご確認の程を。
２０１８年版はビッグバンを強調するあまり、図の下部が真っ白になっていてよく見えません。
その部分については２０１３年版の方がお勧めとなります。
前回導出した宇宙の大きさ、それは現時点で我々から光速で離れていく点でした。
通常の感覚ではその点が宇宙の端、我々が観測できる限界を表している、と考えてしまいます。
その点の外側は「超光速の世界」で我々にそこからの光が届くことはない、とアインシュタインは言った、と思っています。
しかしながら、「宇宙図」によれば「いいや光は届くのですよ」となります。
そりゃまたどういう訳だね、と普通は思います。
「どう考えたって届くわけはなかろう」と「宇宙図はおかしい」と思いますよね、普通は。
当方もそう考えた訳です。
しかしまあそれなりの方々が作っている「宇宙図」でありますから「いったいどうやって作ったのかな」と調べてみる価値はありそうです。
以下２０１８年版の宇宙図からの読み取りになります。
・宇宙のはれ上がり時（ビッグバンスタートから３７万年後）の地球から最終散乱面までの距離・・・４２００万光年
・ビッグバンスタート時の地球から観測可能な宇宙の半径・・・数センチから数メートル。
↓
３７万年で数メートルの半径が４２００万光年まで拡大した。
（その時点での宇宙の膨張速度・・・光速の６０倍）（注４）
↓
ビッグバンスタートから３７万年後までの平均膨張速度・・・光速の１１３．５倍
（これはフリードマングラフのビッグバン直後の立ち上がりの傾きがほぼ垂直である事により表現されています。）
・１３８億年後（現時点）での最終散乱面までの距離・・・４５０億光年
↑
これが実質上の観測可能な宇宙の現時点での（そのようにフリードマングラフによって予想できる）大きさ
但し我々がその宇宙を観測できるのは「１３８億年ー３７万年前の姿のみ」
↑
これをプランク衛星などで測定しているのが「宇宙背景放射の観測」という事になります。
↑
従って、通常の言い方では、最終散乱面までの距離は「１３８億光年ー３７万光年」という事になります。
・<観測可能な宇宙の大きさ・・・４５０億光年>
１３８億年ー３７万年で半径４２００万光年の宇宙が４５０億光年まで広がった
↓
平均膨張速度・・・光速の３．２６倍
以上の様にビックバンスタートからみれば、基本的に宇宙は減速膨張となります。
しかしながら、より詳細にみると今から６０億年ほど前に減速膨張から加速膨張に転じています。
・宇宙の事象の地平面（事象のホライズン）が現時点で地球から１６５億光年の所にある。
現時点でこれを超えた所にある銀河や恒星、ＢＨなどからの信号（光、重力波、ニュートリノ）は将来に渡って地球に届くことはない。
↑
現時点で１３８億光年先が光速Ｃで地球から離れている、とすると、この事象のホライズンの後退速度は光速の１．２倍程度。
↓
そうすると、光速の１．２倍未満で地球から離れつつある銀河やＢＨからの信号は、未来のどこかで地球に届く、と言う事になります。
さてこの結論、つまり光速を超えている観測対象が将来観測できる、という理由については、当方の理解力を超えています。
フリードマングラフによって空間の伸びは知る事が出来ますが、そのように伸びた空間で光がどのようにふるまうのか、という情報が不足している模様です。
そうして、それは一般相対論ーー＞ＦＬＲＷ計量に踏み込まないと入手できない様です。
（詳細については「固有距離とホライズン」を参照願います。＜－－リンク）
↓
同じ理由で宇宙図に書かれている光のしずくがあのようになる、という事も理解できていません。
宇宙の大きさを決める手順詳細につきましては「4．宇宙論パラメータの決定」の４８～５０ページを参照願います。＜－－リンク
以下、その手順に従って見ていきます。
1. 宇宙晴れ上がりの時期 zdecを推定する
a. 理論モデルを用いて観測されているCMB温度地図の宇宙時刻（宇宙 が中性化・晴れ上がった時）を計算
「第 6 講 熱的宇宙」５～６ページ「6.5 再結合温度」に記述有り。＜－－リンク
それによれば
『zdc = 1100, Tdc = 3000K
tdc =( Ho^−1)＊ (1+zdc)^−3/2 = 375,000 年』（注２）
とのこと。
b. これは、赤方偏移パラメータにして zdec=1089 ± 1
↑
誤差範囲かと。
c. 宇宙の大きさが現在の1/(1+zdec ) ～1/1089 の時期に対応。
（宇宙モ デルを仮定して）時刻に換算すれば tdec=37.2 ±1.4 万年
↑
誤差範囲かと。
2. この時期までにゆらぎの振動が伝わる距離 rを計算する
a. 空間的な重力的密度のゆらぎは、その時期の宇宙の媒質中を音波 として伝わる
b. この音波振動が、CMB温度ゆらぎスペクトルの山や谷をつくる
c. 主として放射からなる媒質の場合、音速は光速の(1/3)^1/2
d. これらを総合すると、距離は（現在の宇宙での値に換算して）
r=147Mpc となる。
↑
「7 宇宙の運命」７～８ページ「7.4 宇宙の曲率決定」参照のこと。＜－－リンク
『ビッグバン以降の音波の最長到達距離を音波の地平線（=音速×宇宙時刻）と言い、再結合時の音波の地平線長はds = 147±4(Ωmh＾2/0.13)＾−0.25(Ωbh＾2/0.024)＾−0.08Mpc と計算できる。』
3. 理論モデルとの比較から宇宙の曲率がわかる
a. この長さを現在の宇宙から見込む角度がCMB温度ゆらぎスペクトルの最初のピークの位置に対応（さらに右のピークはその高調波）
b. WMAPの観測結果より、 l～220、これは角度に換算して θ ～Ｐｉ/ l～0.8 °
c. 実はこの値はほとんど宇宙の曲率（幾何学、空間の曲がり具合）だけで決まる
d. 上の結果より、宇宙の曲率はほとんど 0、つまり、我々の宇宙はピタゴラスの定理が成り立つようなユークリッド空間（平坦な宇宙）に極めて近いことが示された：
曲率=0.02 ±0.02
↑
「7 宇宙の運命」７～８ページ「7.4 宇宙の曲率決定」参照のこと。＜－－リンク
5. rの値が、遠方のものさしの目盛りの役割をする
a. CMB温度地図の宇宙時刻（宇宙の晴れ上がり）から現在までの距離ｄは、
d=r/ θ ～14Gpc
↑
観測からθ ～Pi/ l～0.8 °、理論計算からr=147Mpcである事より、ここから上式によって宇宙の現在の大きさを推定している。（注１）
6. 現在の宇宙年齢の推定
a. 宇宙の晴れ上がりから現在までの距離 d が決まったので (宇宙の曲率がほとんど 0であることを利用すれば）、その時点から現在までの経過時間が精度よくわかる
b. 宇宙の晴れ上がりでの時刻は tdec=37.2 ±1.4 万年だったから、上で得られた時間は現在の宇宙年齢そのもの
↑
１３７億年≒１３７億年ー０．００３７億年、、、と言う意味かと。
c. t=137 ±2 億年
↑
ハッブル定数Ｈo７４ｋｍ/秒/1Mpcが観測値である。
そうすると４５０億光年先（14Gpc先）の速度が光速の３．４倍である事がわかる。
さて、そこまでわかると後はフリードマングラフでa(0)に４５０億光年をいれて、そこでのグラフの傾きを光速の３．４倍にすれば、a=0でのｔの値、それが宇宙年齢になるのですが、求まる事になります。
注１
「現時点での宇宙の大きさを知る」というのは１３７億年の昔、３０００Ｋの光を出していた最終散乱面が今、地球からどれぐらいの距離にあるのかを知る、という事になります。
そうして現在その場所では我々が暮らす地球から見るような恒星や銀河によって夜空が彩られている、という事が「一様かつ等方である宇宙」という前提から浮かび上がってくる結論となります。（注３）
そして、「事象のホライズンの外側にあるその場所の銀河の光」を我々は決して目る事はない、という事でもあります。
さて、そうでありますから我々は又、我々が暮らすこの場所も１３７億年の昔は最終散乱面として３０００Ｋで輝いていた、という事を知るのであります。
（ちなみに３０００Ｋというとオレンジがかった黄色でしょうか。＜－－リンク）
注２：decoupling timeーー＞zdec
「ガモフの基準と脱結合」＜－－リンク より
『やがて宇宙の温度が下がってくると，粒子間の相互作用は弱くなり，お互いのエネルギーのやりとりがなくなって独立に運動するようになる．この過程を粒子の脱結合 (decoupling)という．』
↑
何と何が結合を解かれるのか、といえば電子、陽子という物質粒子と光子との結合であります。
温度が下がって電子と陽子が水素原子を作ると、光が自由に飛び回れる様になる、これを称して「宇宙のはれ上がり」といいます。
そしてその温度が３０００Ｋ、オレンジがかった黄色の光の色温度に相当します。
そういう訳でその時代は宇宙はどこもかしこも「オレンジがかった黄色の光」が充満していた、と、そういう事になります。
もちろん、我々が暮らしているこの場所もそうでありました。
↑
「光子の脱結合と電子の再結合」＜－－リンク
注３：一様かつ等方である宇宙
この前提のもとにフリードマン方程式は解かれています、
その結果がフリードマングラフとなります。
さて「一様である」ということはどういうことでしょうか？
宇宙には特別な場所はなく、あそこがあのようであれば、ここもまた同じようにあのようである、そうしてまたその逆も成立している、という事であります。
「等方である」ということはどういうことでしょうか？
我々から見渡す景色はどの方向を見ても同じに見える、という事です。
有限体積の３次元球でこの条件が厳密に成立するには、我々が球の中心にいる時だけです。
そうしてまた、そのような「自己中心主義が宇宙では成立していない」という事もまた我々は良く知っているのです。
しかしながら、我々が観測する範囲においては「見渡す景色はどの方向を見ても同じに見える」のでありますから、「宇宙は等方である」として式を立てて、それを解くのです。
注４
３７万年で数メートルの半径が４２００万光年まで拡大した。
（その時点での宇宙の膨張速度・・・光速の６０倍）
↑
光速の６０倍＜－－この数値は後述する「・４２・輻射-物質拮抗時期（宇宙の放射成分を考える）」で算出できました。
・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと 一覧＜－－リンク
http://archive.fo/ETe8Y
宇宙の大きさ＝「宇宙図（２０１３年版）」＜－－リンク
いずれもダウンロードするのに少々時間がかかりますが、それだけの価値はありますので、是非ともご確認の程を。
２０１８年版はビッグバンを強調するあまり、図の下部が真っ白になっていてよく見えません。
その部分については２０１３年版の方がお勧めとなります。
前回導出した宇宙の大きさ、それは現時点で我々から光速で離れていく点でした。
通常の感覚ではその点が宇宙の端、我々が観測できる限界を表している、と考えてしまいます。
その点の外側は「超光速の世界」で我々にそこからの光が届くことはない、とアインシュタインは言った、と思っています。
しかしながら、「宇宙図」によれば「いいや光は届くのですよ」となります。
そりゃまたどういう訳だね、と普通は思います。
「どう考えたって届くわけはなかろう」と「宇宙図はおかしい」と思いますよね、普通は。
当方もそう考えた訳です。
しかしまあそれなりの方々が作っている「宇宙図」でありますから「いったいどうやって作ったのかな」と調べてみる価値はありそうです。
以下２０１８年版の宇宙図からの読み取りになります。
・宇宙のはれ上がり時（ビッグバンスタートから３７万年後）の地球から最終散乱面までの距離・・・４２００万光年
・ビッグバンスタート時の地球から観測可能な宇宙の半径・・・数センチから数メートル。
↓
３７万年で数メートルの半径が４２００万光年まで拡大した。
（その時点での宇宙の膨張速度・・・光速の６０倍）（注４）
↓
ビッグバンスタートから３７万年後までの平均膨張速度・・・光速の１１３．５倍
（これはフリードマングラフのビッグバン直後の立ち上がりの傾きがほぼ垂直である事により表現されています。）
・１３８億年後（現時点）での最終散乱面までの距離・・・４５０億光年
↑
これが実質上の観測可能な宇宙の現時点での（そのようにフリードマングラフによって予想できる）大きさ
但し我々がその宇宙を観測できるのは「１３８億年ー３７万年前の姿のみ」
↑
これをプランク衛星などで測定しているのが「宇宙背景放射の観測」という事になります。
↑
従って、通常の言い方では、最終散乱面までの距離は「１３８億光年ー３７万光年」という事になります。
・<観測可能な宇宙の大きさ・・・４５０億光年>
１３８億年ー３７万年で半径４２００万光年の宇宙が４５０億光年まで広がった
↓
平均膨張速度・・・光速の３．２６倍
以上の様にビックバンスタートからみれば、基本的に宇宙は減速膨張となります。
しかしながら、より詳細にみると今から６０億年ほど前に減速膨張から加速膨張に転じています。
・宇宙の事象の地平面（事象のホライズン）が現時点で地球から１６５億光年の所にある。
現時点でこれを超えた所にある銀河や恒星、ＢＨなどからの信号（光、重力波、ニュートリノ）は将来に渡って地球に届くことはない。
↑
現時点で１３８億光年先が光速Ｃで地球から離れている、とすると、この事象のホライズンの後退速度は光速の１．２倍程度。
↓
そうすると、光速の１．２倍未満で地球から離れつつある銀河やＢＨからの信号は、未来のどこかで地球に届く、と言う事になります。
さてこの結論、つまり光速を超えている観測対象が将来観測できる、という理由については、当方の理解力を超えています。
フリードマングラフによって空間の伸びは知る事が出来ますが、そのように伸びた空間で光がどのようにふるまうのか、という情報が不足している模様です。
そうして、それは一般相対論ーー＞ＦＬＲＷ計量に踏み込まないと入手できない様です。
（詳細については「固有距離とホライズン」を参照願います。＜－－リンク）
↓
同じ理由で宇宙図に書かれている光のしずくがあのようになる、という事も理解できていません。
宇宙の大きさを決める手順詳細につきましては「4．宇宙論パラメータの決定」の４８～５０ページを参照願います。＜－－リンク
以下、その手順に従って見ていきます。
1. 宇宙晴れ上がりの時期 zdecを推定する
a. 理論モデルを用いて観測されているCMB温度地図の宇宙時刻（宇宙 が中性化・晴れ上がった時）を計算
「第 6 講 熱的宇宙」５～６ページ「6.5 再結合温度」に記述有り。＜－－リンク
それによれば
『zdc = 1100, Tdc = 3000K
tdc =( Ho^−1)＊ (1+zdc)^−3/2 = 375,000 年』（注２）
とのこと。
b. これは、赤方偏移パラメータにして zdec=1089 ± 1
↑
誤差範囲かと。
c. 宇宙の大きさが現在の1/(1+zdec ) ～1/1089 の時期に対応。
（宇宙モ デルを仮定して）時刻に換算すれば tdec=37.2 ±1.4 万年
↑
誤差範囲かと。
2. この時期までにゆらぎの振動が伝わる距離 rを計算する
a. 空間的な重力的密度のゆらぎは、その時期の宇宙の媒質中を音波 として伝わる
b. この音波振動が、CMB温度ゆらぎスペクトルの山や谷をつくる
c. 主として放射からなる媒質の場合、音速は光速の(1/3)^1/2
d. これらを総合すると、距離は（現在の宇宙での値に換算して）
r=147Mpc となる。
↑
「7 宇宙の運命」７～８ページ「7.4 宇宙の曲率決定」参照のこと。＜－－リンク
『ビッグバン以降の音波の最長到達距離を音波の地平線（=音速×宇宙時刻）と言い、再結合時の音波の地平線長はds = 147±4(Ωmh＾2/0.13)＾−0.25(Ωbh＾2/0.024)＾−0.08Mpc と計算できる。』
3. 理論モデルとの比較から宇宙の曲率がわかる
a. この長さを現在の宇宙から見込む角度がCMB温度ゆらぎスペクトルの最初のピークの位置に対応（さらに右のピークはその高調波）
b. WMAPの観測結果より、 l～220、これは角度に換算して θ ～Ｐｉ/ l～0.8 °
c. 実はこの値はほとんど宇宙の曲率（幾何学、空間の曲がり具合）だけで決まる
d. 上の結果より、宇宙の曲率はほとんど 0、つまり、我々の宇宙はピタゴラスの定理が成り立つようなユークリッド空間（平坦な宇宙）に極めて近いことが示された：
曲率=0.02 ±0.02
↑
「7 宇宙の運命」７～８ページ「7.4 宇宙の曲率決定」参照のこと。＜－－リンク
5. rの値が、遠方のものさしの目盛りの役割をする
a. CMB温度地図の宇宙時刻（宇宙の晴れ上がり）から現在までの距離ｄは、
d=r/ θ ～14Gpc
↑
観測からθ ～Pi/ l～0.8 °、理論計算からr=147Mpcである事より、ここから上式によって宇宙の現在の大きさを推定している。（注１）
6. 現在の宇宙年齢の推定
a. 宇宙の晴れ上がりから現在までの距離 d が決まったので (宇宙の曲率がほとんど 0であることを利用すれば）、その時点から現在までの経過時間が精度よくわかる
b. 宇宙の晴れ上がりでの時刻は tdec=37.2 ±1.4 万年だったから、上で得られた時間は現在の宇宙年齢そのもの
↑
１３７億年≒１３７億年ー０．００３７億年、、、と言う意味かと。
c. t=137 ±2 億年
↑
ハッブル定数Ｈo７４ｋｍ/秒/1Mpcが観測値である。
そうすると４５０億光年先（14Gpc先）の速度が光速の３．４倍である事がわかる。
さて、そこまでわかると後はフリードマングラフでa(0)に４５０億光年をいれて、そこでのグラフの傾きを光速の３．４倍にすれば、a=0でのｔの値、それが宇宙年齢になるのですが、求まる事になります。
注１
「現時点での宇宙の大きさを知る」というのは１３７億年の昔、３０００Ｋの光を出していた最終散乱面が今、地球からどれぐらいの距離にあるのかを知る、という事になります。
そうして現在その場所では我々が暮らす地球から見るような恒星や銀河によって夜空が彩られている、という事が「一様かつ等方である宇宙」という前提から浮かび上がってくる結論となります。（注３）
そして、「事象のホライズンの外側にあるその場所の銀河の光」を我々は決して目る事はない、という事でもあります。
さて、そうでありますから我々は又、我々が暮らすこの場所も１３７億年の昔は最終散乱面として３０００Ｋで輝いていた、という事を知るのであります。
（ちなみに３０００Ｋというとオレンジがかった黄色でしょうか。＜－－リンク）
注２：decoupling timeーー＞zdec
「ガモフの基準と脱結合」＜－－リンク より
『やがて宇宙の温度が下がってくると，粒子間の相互作用は弱くなり，お互いのエネルギーのやりとりがなくなって独立に運動するようになる．この過程を粒子の脱結合 (decoupling)という．』
↑
何と何が結合を解かれるのか、といえば電子、陽子という物質粒子と光子との結合であります。
温度が下がって電子と陽子が水素原子を作ると、光が自由に飛び回れる様になる、これを称して「宇宙のはれ上がり」といいます。
そしてその温度が３０００Ｋ、オレンジがかった黄色の光の色温度に相当します。
そういう訳でその時代は宇宙はどこもかしこも「オレンジがかった黄色の光」が充満していた、と、そういう事になります。
もちろん、我々が暮らしているこの場所もそうでありました。
↑
「光子の脱結合と電子の再結合」＜－－リンク
注３：一様かつ等方である宇宙
この前提のもとにフリードマン方程式は解かれています、
その結果がフリードマングラフとなります。
さて「一様である」ということはどういうことでしょうか？
宇宙には特別な場所はなく、あそこがあのようであれば、ここもまた同じようにあのようである、そうしてまたその逆も成立している、という事であります。
「等方である」ということはどういうことでしょうか？
我々から見渡す景色はどの方向を見ても同じに見える、という事です。
有限体積の３次元球でこの条件が厳密に成立するには、我々が球の中心にいる時だけです。
そうしてまた、そのような「自己中心主義が宇宙では成立していない」という事もまた我々は良く知っているのです。
しかしながら、我々が観測する範囲においては「見渡す景色はどの方向を見ても同じに見える」のでありますから、「宇宙は等方である」として式を立てて、それを解くのです。
注４
３７万年で数メートルの半径が４２００万光年まで拡大した。
（その時点での宇宙の膨張速度・・・光速の６０倍）
↑
光速の６０倍＜－－この数値は後述する「・４２・輻射-物質拮抗時期（宇宙の放射成分を考える）」で算出できました。
・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと 一覧＜－－リンク
http://archive.fo/ETe8Y
