一向に「心と言葉」に触れていない心と言葉シリーズですが、ここまできたら思い切り数学側に寄り道してみましょう。
まず無限級数のお話。ゼノンのパラドックスで出てきた数列の級数は
S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ・・・
= ∑(n=1から∞まで)2^-n
= 1
でした。
一方、高校などで0.9999・・・ = 1というものもあります。これも級数で書き表すと、「10進数」という数の表し方を思い出して、
S = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ・・・
= 9*∑(n=1から∞まで)10^-n
= 1
よく似ていますね。というのも、S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ・・・だって「2進数」で書き表せば
S = 0.1111・・・
ですから。
参考:
Wikipedia「0.999...」
続いてε-δ論法のお話。
(どうでもいい話ですが、大学時代に誰かが「ε-δ論法は難しすぎて憎しみすら感じる」と言ってた気がします。誰だったかなぁ。)
(´_ゝ`)
ニュートンやライプニッツが編み出した微積分学ですが、高校数学で習う
f'(x) = lim(Δx→0) [{f(x+Δx) - f(x)} / Δx]
なんて数式、厳密に「無限」を考えた人からすれば、
「Δxが無限に0に近いって何だ?都合のいいところでは『Δx = 0』と考えちゃうくせに、Δxで割り算するときは『Δx ≠ 0』と平気な顔して言うつもりか!?」
というふうにたいへん怪しい話。「どんな数よりも(絶対値が)小さな数」とか「どんな数よりも(絶対値が)大きな数」というものを、四則演算できる実数のシステムに入れてしまうことが不自然に思えることをゼノンのパラドックスで見てきました。この「実無限」の考え方はウヤムヤなまま19世紀を迎えます。
この問題を解決したのがカール=ワイエルシュトラス。解決策はその名も「ε-δ論法」。
lim(x→a) f(x) = b
これを日本語に翻訳しますと
「xが無限にaに近付くとき、関数f(x)はbに収束する」
で、さらに意訳すれば
「xがaに無限に近付く」→「|x - a|がキチンと選んだ数δよりも小さい」
「関数f(x)はbに収束する」→「|f(x) - b|がテキトゥに選んだ、0より大きい数εよりも小さい」
で、二つあわせて
「|x - a|がキチンと選んだ数δよりも小さいならば、|f(x) - b|がテキトゥに選んだ、0より大きい数εよりも小さい」
εはテキトゥに選べるので、考えられうる限り(0より大きく)小さな数を選んでやりましょう。それでもキチンとδを設定してやれば|f(x) - b|< εになるんです。
ほらね、「無限」という言葉がなくても極限の存在を示せるのです。・・・その代わりに出てきたのが「考えうる限り」という言葉。ここが「実無限」と「可能無限」の違いになるわけです。limは実無限的な極限、ε-δ論法は可能無限的な極限と言えるでしょう。
こうして直観的なライプニッツ流の極限はε-δ論法に駆逐されました。・・・しかし現代数学では「Non-standard analysis(超準解析)」という考え方により再び厳密に定式化されています。その「超準解析」とは、「今の数学のルールそのものを変えちゃって『無限』も数になっちゃうような新しい数学の世界を作っちゃいましょう!」というもの。
ない物は創ればいい!
この「無限」のフロンティアスピリットをもった数学は、現在「数学基礎論」として発展し、計算機科学などに応用されています。