４、従来は「これが相手の慣性系の時間遅れである」とされていた sqrt(1-相対速度V^2) の正体
原点を基準慣性系にとります。
そこから慣性系①、②、③が任意の方向にそれぞれ固有速度a,b,cをもって離れていきます。
但し「3つの慣性系は原点を含んで一つの直線を作る様に移動する」とします。
ちなみに速度はＣ＝１で規格化しておきます。
それでその場合に①から②を見た時の相対速度Ｖ12はこうなります。
Ｖ12＝（b-a)/(1-b*a) ・・・（１）式
逆に②から①を見た時の相対速度は
Ｖ21=(a-b)/(1-a*b) ・・・（２）式
（１）式と（２）式は絶対値は同じで方向が真逆となります。
そうしてこれが我々が認識できる２つの慣性間の相対速度そのものでした。
ここで通説に従って①から②を見た時の時間の遅れを計算します。
①から②を見た時の時間の遅れ＝sqrt(1-(V12)^2)
=sqrt(1-(（b-a)/(1-b*a))^2)
ウルフラムを呼び出します。
実行アドレス
https://ja.wolframalpha.com/input?i=sqrt%281-%28%EF%BC%88b-a%29%2F%281-b*a%29%29%5E2%29
「別の形」に答えが出ています。
a*b<1である事に注意すると分母は(1-a*b)>0となります。
分子はsqrt(1-a^2)*sqrt(1-b^2)と変形できます。
さてそうすると
sqrt(1-(V12)^2)
＝sqrt(1-a^2)*sqrt(1-b^2)/(1-a*b)
となります。（注１）
つまり
慣性系①の静止系基準の時間遅れ＊慣性系②の静止系基準の時間遅れ÷(1ー慣性系①の固有速度a＊慣性系②の固有速度b)
がsqrt(1-(V12)^2)の正体です。
これを従来は「①から②を見た時の時間の遅れだ」としてきたのでした。
つまりは「sqrt(1-(V12)^2)が慣性系①から慣性系②を見た時の時間の遅れである」というのは「単なる誤解」という事になります。（注2）
ちなみにこの導出手順は固有速度aとbについて対称です。
従って
sqrt(1-(V12)^2)=sqrt(1-a^2)*sqrt(1-b^2)/(1-a*b)
=sqrt(1-b^2)*sqrt(1-a^2)/(1-b*a)＝sqrt(1-(V21)^2)
となります。
これが通説の「時間の遅れはお互い様の正体」でした。
さらに加えますれば、慣性系①から慣性系②を観測した時に観測したかった慣性系の時間の遅れは
sqrt(1-b^2)/sqrt(1-a^2)
であり、また逆に慣性系②から慣性系①を観測した時に観測したかった慣性系の時間の遅れは
sqrt(1-a^2)/sqrt(1-b^2)
となります。
注１：最終的に得られた式の形が「時間遅れの合成則」に似ていますが分母が(1-a*b)とマイナスになっている所が違います。
さてそれで「時間遅れの合成則」ではこの話はどうなっているのか、見ていきます。
「時間遅れの合成則」を使った場合は上の話は次のような表示になります。
sqrt(1-b^2)=sqrt(1-a^2)*sqrt(1-(V12)^2)/(1+a*V12)
従って
sqrt(1-(V12)^2)＝sqrt(1-b^2)＊(1+a*V12)/sqrt(1-a^2)
ここで(1+a*V12)のV12に（１）式（b-a)/(1-b*a)を代入します。
(1+a*V12)＝(1+a*（b-a)/(1-b*a))
ウルフラムを呼んで
実行アドレス
https://ja.wolframalpha.com/input?i=%281%2Ba*%EF%BC%88b-a%29%2F%281-b*a%29%29
「別の形」から答えを持ってきます。
(a^2-1)/(ab-1)=(1-a^2)/(1-a*b)
こうしてめでたく
sqrt(1-(V12)^2)＝sqrt(1-b^2)＊(1+a*V12)/sqrt(1-a^2)
＝sqrt(1-b^2)/sqrt(1-a^2)＊(1+a*V12)
＝sqrt(1-b^2)/sqrt(1-a^2)＊(1-a^2)/(1-a*b)
＝sqrt(1-b^2)＊sqrt(1-a^2)/(1-a*b)
となるのでした。
つまり「導出の過程は違いますが結論の式は同じになる」のです。
ちなみにこの得られた式でたとえば地球の固有速度をa<<1(＝光速Ｃに対して無視可能）とし、ミュー粒子の固有速度をb≒１（≒Ｃ）とするならば
sqrt(1-(V12)^2)
＝sqrt(1-b^2)＊sqrt(1-a^2)/(1-a*b)
≒sqrt(1-b^2)＊sqrt(1-0^2)/(1-0*b)
＝sqrt(1-b^2)
となります。
ここで観測者は地球にいて地球（＝慣性系①、固有速度aをもつ）に飛来するミュー粒子（慣性系②、固有速度bをもつ）を観測しています。
つまりは「地球に対するミュー粒子の相対速度V12（=(b-a)/(1-a*b)）を使った時間遅れの計算がほぼミュー粒子の固有速度bで発生しているミュー粒子の時間遅れを表している」という事になるのです。
但しここで注意が必要な事は「地球の固有速度をa<<1だから光速Ｃに対して無視可能である」とできる程度の実験精度でよい場合に限ります。
それはつまり「地球も静止系に対して移動しているので、観測者の持っている時計の時間は遅れている」という事実を無視している事になるからです。
そうであれば「観測者の時間遅れが無視できない場合」＝「精密測定の実験の場合には注意が必要になる」と言う事です。
そうして、そのような注意を怠ると「困る事になる」と思われます。
注2：「LLの一般」はまた別の視点から「sqrt(1-(V12)^2)が慣性系①から慣性系②を見た時の時間の遅れである」というのは「単なる誤解である」という事を示しました。