もう一つの固有時パラドックス

１、時計Aの固有時について

「時計Aからみた時のNM図」：　http://fsci.4rm.jp/modules/d3forum/index.php?post_id=29864　：では

『それで注意が必要なのは時計Aが示している経過時間５秒、と言うのはこのMN図の座標時であり、時計Aの固有時ではない、という所にあります。

というのもイベント①で時計Bとすれ違ったのは時計Cであって時計Aでないからです。

そうして固有時の定義「２つのイベントの間を移動する時計の経過時間が固有時である」に相当するのはこの場合時計Bの時間経過だけである、と言う事になります。』と書きました。

この記述はこれで成立しているのですが、この時に「時計Bからみた時のNM図（図２）：　http://fsci.4rm.jp/modules/d3forum/index.php?post_id=29901　：で登場した時計Dを上記のMN図（図１）に追加したらどうなるのでしょうか？

その状況を図４で確認します。

図４のプロット（図１に時計Dを追加する）

y=0,x=0,y=-1.25x+5,x=4,y=5,y=-1.25x,x=-4　 プロット　　-10<x<10,　-10<y<10

図４の実行アドレス

https://ja.wolframalpha.com/input?i=y%3D0%2Cx%3D0%2Cy%3D-1.25x%2B5%2Cx%3D4%2Cy%3D5%2Cy%3D-1.25x%2Cx%3D-4%E3%80%80+%E3%83%97%E3%83%AD%E3%83%83%E3%83%88%E3%80%80%E3%80%80-10%3Cx%3C10%2C%E3%80%80-10%3Cy%3C10

時計A、B、C、については図１と同様です。

そこに時計Dが y=-1.25x として加わりました。

この時計Dは慣性系βに属し、時計Bと同期がとれています。（＝時刻合わせが済んでいます。）

さてこの時計Dは原点で時計Aとすれ違います。

これがイベント③です。（注１）

そうしてその時に時計Aは０秒を指していました。



それでこの時に時計CはX=4の場所で時計Aと同様に０秒になっており、それに対してすれ違った時計Bはそこで時計をリセットしました。（注２）

これがイベント①でした。

そうして時計Bはそのまま左側に進んで時計Aとすれ違います。

これがイベント②でした。



さてこのように舞台設定を行いますとその結果は次のようになります。

時計Bの固有時＝イベント①からイベント②まで時計Bが移動するのにかかった、時計Bで測定した経過時間＝３秒

これは「時計Aからみた時のNM図」：　http://fsci.4rm.jp/modules/d3forum/index.php?post_id=29864　：での結論であり、これが変わる事はありません。

そうして時計Dを図１に描きこむことで図４が出来上がるのですが、図４を見ますと時計Aの固有時が分かります。

時計Aの固有時＝イベント③からイベント②まで時計Aが移動するのにかかった、時計Aで測定した経過時間＝５秒（注３）



さて、こうして図１では時計Aがイベント②で示していた時刻５秒と言うのは固有時とは言えず、座標時でした。

そこに時計Dを追加し、この時計Dが原点で時計Aとすれ違うようにしますと時計Aのイベント②で示していた時刻、５秒がMN図の座標時である事と同時に固有時にもなるのです。（注４）



さあそうなりますと図４においては

時計Bの固有時は３秒、時計Aの固有時は５秒、と言う事になり、両方とも固有時となりましたからこの２つの値はローレンツ不変である、と言う事になります。

つまり時空の中で客観的に存在している、実在するデータであって、どのような第三の観測者が観測してもイベント②での時計Aと時計Bの針の位置には変化は起らないのです。

従ってイベント②での観測によって、「時計Bは時計Aより２秒遅れている」という結果を得ます。

そうしてＭＮ図４は又「時計Aが属している慣性系αが静止系である」という事も示しています。（注５）



さてそれでこの時に時計Bに立っている観測者が「いや、当方の視点では時計B＝慣性系βこそが静止系である」と従来からある「時間の遅れはお互い様」論に従って主張したらどうなるでしょうか？

このような時計Bの観測者の主張は時計Bと時計Aの固有時を変更するでしょうか？

時計Bの観測者の主張を聞くと時計Bの固有時は３秒から５秒に変化するのでしょうか？

いやいや、時計Bの観測者がどのような主義でどのような主張を展開されても、一度決定された、ひとたび観測された時計の針の位置の値には何の影響も与える事はできないのです。

もし「観測者の主張によりひとたび決定された固有時が変化する」というならば、少なくともそれは「我々が暮らす宇宙の中の出来事ではない」という事になります。



そうでありますから「固有時は所定の時計があるイベントから次のイベントに移動する間にその時計で計った経過時間」であって「その値はそれを観測している観測者の影響を受けない」＝「客観的な観測データである」と言われるのです。（注６）



以上、示しましたように「図４のMN図が示す状況では時間の遅れはお互い様ではない」という事になります。



こうしてここでもまた

・固有時が存在する。

と言う事と

・時間のおくれはお互い様

と言う主張は両立しない、という事が分かるのです。（注７）



さてそういうわけで、これが「もう一つの固有時パラドックス」となります。



注１：図４のイベント③では時計Aは時計Dのゼロ秒に合わせて時刻をリセットする事はしません。

これが「時計Bからみた時のNM図」：　http://fsci.4rm.jp/modules/d3forum/index.php?post_id=29901　：に登場する図２のMN図での時計Aの挙動とは違う、と言う事になります。

図４のMN図ではただ単に「原点位置で時計Aと時計Dはお互いの時計の針の位置を確認し、それを自分の時計の針の位置データと伴に記録に残す」のです。

しかしながらこの「お互いに観測しあう」という行為がイベント③を成立させているのです。

注２：時計のリセット方法については「時計Bからみた時のNM図」の「追記：時計のリセットについて」にてご確認願います。

表現上「時計Bは時計Cに合わせてリセットする」と書いていますが、実際は時計Bのリセットボタンをここで押す必要はありません。

注３：こうして一枚のMN図のなかに時計A、B、C、D、を全て書き込みますとこれが「その３・ランダウ、リフシッツ　パラドックス」：http://fsci.4rm.jp/modules/d3forum/index.php?post_id=29616　：で説明した「４つの時計による時間遅れの測定」と同じ設定となります。

注４：「固有時が同時にまた座標時になる」という事は「その場合に限り、その時計は静止系に属している」という事を示しています。

注５：時計Aは空間軸方向には移動しませんが、MN図の時間軸方向には移動します。

それで空間軸方向と同様に時間軸方向に対しても「移動する」という表現を使います。

しかしながら特殊相対論ではこの状況を指して「時計Aは静止系＝慣性系αは静止系」と表現するのでした。

加えてＭＮ図４で示されている「時計Aは静止系である」という事実は時計Aと時計Bの示す時間が固有時である事から、ＭＮ図４をどの様にローレンツ変換しても変わる事はないのであります。

注６：ランダウ、ジューコフによれば

『どの様な基準系から見ようと（注４）針が10回転した事実はかわりませんので“固有時”は絶対的な量です。（注５）』と宣言されています。

なおこの件詳細につきましては「固有時パラドックス・相対論」：　http://fsci.4rm.jp/modules/d3forum/index.php?post_id=29799　：を参照ねがいます。

注７：同様の議論を「時計Bからみた時のNM図」：　http://fsci.4rm.jp/modules/d3forum/index.php?post_id=29901　：の図２のMN図について行う事が出来ます。

その結果は時計Aの固有時は３秒となり、時計Bの固有時は５秒となります。

これは今度は時計Aの属する慣性系αは静止系ではなく運動系としてMN図に登場するからです。

その事から分かります様に「時計Aを静止系とするMN図が示す状況」と「時計Bを静止系とするMN図が示す状況」はまったくの別物である「この宇宙で起きている全く異なる二つの状況をそれぞれのMN図が示している」と言う事になります。

というのも「時計Aの固有時が５秒である」ということと同時にまた「時計Aの固有時が３秒である」と言う事はできないからであります。

ちなみに以上の事は「ＭＮ図の唯一性定理」：　http://fsci.4rm.jp/modules/d3forum/index.php?post_id=28603　：が主張している事の再確認にもなっています。



２、問題は解決したのか？

さてそうであれば以上で最初に提示したお題

「距離 L だけ離れてリセットされた、相対速度０．８Cで接近しつつある二つの時計AとBの時間の遅れはどうなっていますか？」

の答えは出たのでしょうか？

残念ですがいまだにその答えは明らかになっていません。

但し、「お互いが相手の時計が遅れていると観測する」という主張、「時間の遅れはお互い様」という主張はここまでの議論によって「我々の暮らす宇宙では成立してはいない」という事は明らかになりました。

つまりは「一方の時計が他方の時計に対して遅れている」と言う事を観測したのであれば「その時同時にその場所ではその逆の事象（＝遅れている、と観測された時計を進んでいると観測する事）は起きてはいない」と言う事になります。

PS：相対論・ダークマターの事など　記事一覧

https://archive.md/RfWxu

https://archive.md/EEp68

 

 

ローレンツ変換は「時間の遅れはお互い様」を支持しない件

６、ローレンツ変換は「時間の遅れはお互い様」を支持しない件

「時間の遅れはお互い様」という立場に立った時は時計Aの観測者も時計Bの観測者も「自分が属している慣性系が静止系ある」と主張できるのでした。

そうして「その結果は」といえば図１と図２に表されるような「２つのNM図の登場」となりました。（注１）



ところで時計Aの立場にたって「時計Aが静止系である」として作図したMN図（＝図１）と時計Bの立場にたって「時計Bが静止系である」として作図したMN図（＝図２）はローレンツ変換によってお互いが入れ替わる事が出来るのでしょうか？

時計Aの立場に立てば「時計Bが右から相対速度０．８Cで近づいてくる」となります。

この判断に基づいて作られたのがMN図１でした。

そうしてこの同じ状況を時計Bの立場に立てば「時計Aが左から相対速度０．８Cで近づいてくる」となるのでした。

この判断に基づいて作られたのがMN図２でした。

それでこの２つの見方は両方共に正しいのであって、従って「時間の遅れはお互い様」というのが「今のところの業界の常識」です。



さてそれはつまり「時計Aから見たMN図１は認めよう。しかし時計Bから見れば静止しているのは時計Bだ。したがってMN図１を時計Bが止まって見える慣性系にローレンツ変換すれば、それが時計Bから見た『目の前で起きている状況を示すもの』となる。」と言う様に主張できます。

そうして「その様にして得られた変換後のMN図はMN図２になるのだ」と。

さあこの主張は本当に成立しているのでしょうか？



それを確かめる為にはMN図１を時計Bが止まって見える慣性系にローレンツ変換して見れば良いのです。

それで「それがどのようにして可能になるのか」といえば「時計Bと同じ速度で右から左に動く観測者⑤を考えればよい」という事になります。

この新たに登場した観測者⑤は時計Bに同期して右から左に向かって時計Aに向かいます。

そうであればこの観測者⑤にとっては「時計Bは静止していて時計Aが左からこちらに相対速度０．８Cで向かってくる」と観測する事になります。

従ってMN図１を相対速度V＝－０．８Cとしてローレンツ変換してやれば、それが観測者⑤が時計Aに代わって同じ状況を観測した時に得られるMN図となります。



さてそれでまずはMN図１に現れているイベント①と②の座標を確認します。

イベント①＝(t1,x1)=(0,4)

イベント②＝(t2,x2)=(5,0)

時計Bはイベント①でリセットされイベント②で時計Aとすれ違います。

そうしてその時までに時計Bが必要とした経過時間は固有時で３秒でした。

さてそれで、時計Aは空間軸方向は原点に静止したままですが、時間軸方向には移動します。

それで時計Aが時計Bとすれ違う時の世界線は原点からイベント②まで引かれる事になります。

そうであれば現状は原点はイベントではありませんが、原点座標は時計Aの世界線を描くのに必要ですので、これもローレンツ変換の対象となります。

原点＝(t3,x3)=(0,0)

以上、この３つの座標を相対速度V＝－０．８Cでローレンツ変換してやれば良い事になります。

(t,x)から(t',X')への相対速度Vでのローレンツ変換式はこうでした。

x'=(x-βt)/sqrt(1-β^2)

t'=(t-βx)/sqrt(1-β^2)

ここでβ=V/CですがC=1の単位系ですからβ=V

従って

x'=(x-Vt)/sqrt(1-V^2)

t'=(t-Vx)/sqrt(1-V^2)

今V=－０．８C＝－０．８ですから

x'=(x+0.8t)/0.6

t'=(t+0.8x)/0.6

これでイベント①、イベント②、原点をローレンツ変換します。

イベント①＝(t1,x1)=(0,4)ーー＞(t1',x1')=(5+1/3,6+2/3)≒(5.33333,6.66666)

イベント②＝(t2,x2)=(5,0)ーー＞(t2',x2')=(8+1/3,6+2/3)≒(8.33333,6.66666)

原点＝(t3,x3)=(0,0)ーー＞(t3',x3')=(0,0)

以上の結果をNM図３として示します。

図３のプロット

y=0,x=0,y=1.25x,x=6+2/3,y=8+1/3,y=5+1/3　プロット　　-10<x<10,　-10<y<10

図３の実行アドレス

https://ja.wolframalpha.com/input?i=y%3D0%2Cx%3D0%2Cy%3D1.25x%2Cx%3D6%2B2%2F3%2Cy%3D8%2B1%2F3%2Cy%3D5%2B1%2F3%E3%80%80%E3%83%97%E3%83%AD%E3%83%83%E3%83%88%E3%80%80%E3%80%80-10%3Cx%3C10%2C%E3%80%80-10%3Cy%3C10

ローレンツ変換の結果

時計Bの世界線は x=6+2/3 の直線が表しています。

さて、この直線が垂直であるという事は「観測者⑤からみると確かに時計Bは静止して見える」という事を表しています。

つまり「時計Bの移動を止める＝静止系にする」と言う事が「今回のローレンツ変換で実現できた」と言う事になります。



それでイベント①は y=5+1/3 と x=6+2/3 がクロスしている所になります。

イベント②は y=8+1/3 と x=6+2/3 がクロスしている所です。

時計Aの世界線は原点からイベント②に引かれた直線になります。

さてこのMN図から分かります様に時計Bの固有時は

イベント②の座標時ーイベント①の座標時＝３秒　です。

こうしてローレンツ変換では時計Bの固有時が保存される事が確認できました。

加えて時計Aの世界線の傾きが 1.25 である事は時計Aと時計Bの相対速度Vが０．８Cである事を示しており「ローレンツ変換は２つの時計の間の相対速度を不変に保つ変換である」という事も確認できました。



しかしながらこのMN図３はMN図２と似てはおりますが、MN図２そのものにはなっていません。

そうしてMN図２は「実際に時計Bが静止系である」として描かれたものです。

そうなりますとこれは「時計Bが単に見かけ上止まって見える慣性系＝観測者⑤の慣性系はMN図２の示す静止系にはなり得ない」と言う事になります。



さあこの事は何を意味しているのでしょうか？

実際に時計Aが静止系であった時のMN図１が示す状況の時に、単に時計Bの観測者が「いや、時計Bの観測者から見れば時計Bは静止している。したがって本当は時計Bが静止系であり、運動しているのが時計Aである。」と「そのように主張する事はできない」という事をこのローレンツ変換の結果は物語っているのです。

つまり「ローレンツ変換は『時間の遅れはお互い様』を支持してはいない」という事になります。（注２）

さてそれはまた「時計に立っている観測者の主観的判断とは関係なく、別の所に客観的存在としての静止系がある、と言う事を示している」と言えます。





注１：図１と図２は以下を参照願います。

図１のプロット

y=x,y=-x,y=0,x=0,y=-1.25x+5,x=4,y=5　 プロット　　-10<x<10,　-10<y<10

図１の実行アドレス

https://ja.wolframalpha.com/input?i=y%3Dx%2Cy%3D-x%2Cy%3D0%2Cx%3D0%2Cy%3D-1.25x%2B5%2Cx%3D4%2Cy%3D5%E3%80%80+%E3%83%97%E3%83%AD%E3%83%83%E3%83%88%E3%80%80%E3%80%80-10%3Cx%3C10%2C%E3%80%80-10%3Cy%3C10

Y軸上を時計Aが時間軸プラス方向に移動します。（ですからY軸が時計Aの世界線です。）

時計Bの世界線は緑色の右下から左上に向かう直線で示されます。

直線の式は

ｙ＝５－１．２５X　

時計Bは時計Aに対して相対速度V=０．８Cを持ちますから、傾きは１．２５、右側から左側に進行しますので傾きの符号はマイナスです。

そうして時計Bは時計Aの時刻で０秒の時にリセットされます。

その場所はX=4の所になっています。

つまり、X軸上に時計Bが到達した時点で時計Bは時計Aと時刻合わせをするのです。

ですのでそのイベント①の座標はイベント①＝（t1,x1)＝（０、４）となります。



そうして時計Aの読みで５秒後に時計Bは時計Aとすれ違います。

そのイベント②が起こる座標はイベント②＝(t2,x2)＝（５、０）です。

但し図１の内容詳細につきましては：　http://fsci.4rm.jp/modules/d3forum/index.php?post_id=29864　：を参照願います。



図２のプロット

y=x,y=-x,y=0,x=0,y=1.25x+5,x=-4,y=5　 プロット　　-10<x<10,　-10<y<10

図２の実行アドレス

https://ja.wolframalpha.com/input?i=y%3Dx%2Cy%3D-x%2Cy%3D0%2Cx%3D0%2Cy%3D1.25x%2B5%2Cx%3D-4%2Cy%3D5%E3%80%80+%E3%83%97%E3%83%AD%E3%83%83%E3%83%88%E3%80%80%E3%80%80-10%3Cx%3C10%2C%E3%80%80-10%3Cy%3C10

時計Bが静止している、と見ますから、時計BがY軸上を下から上に移動します。

それに対して時計Aが左から相対速度V＝０．８Cで接近してきます。

従って時計Aを表す世界線はｙ＝５＋１．２５X　となります。

距離Lは前回同様に４ですから、時計AはX=-4 で時計Bの時間が０秒の時にリセットされます。

それでこの場所で時計Aとすれ違う時計は時計Dです。

この時計Dは時計Bと同じ慣性系βにあり、時計Bとは同期が取れています。

こうして時計Dを使う事で時計AはX=-4の場所でリセットする事が可能となります。

それで時計Aがリセットされたイベントがイベント③となります。

従ってイベント③の座標は（t3,x3)＝（０、－４）です。

さてそれで、時計Aはそのまま時計Bに接近し時計Bの時間で５秒後に時計Aは時計Bとすれ違います。

この時のイベントは前回イベント②としました。

このイベント②の時計Bから見たMN図での座標は（t4,x4)=（５、０）です。

時計Aはイベント③でリセットされそのままイベント②に向かって移動します。

したがって固有時の定義「２つのイベントの間を移動する時計の経過時間が固有時である」に相当するのはこの場合時計Aの時間経過となります。

但し図２の内容詳細につきましては：　http://fsci.4rm.jp/modules/d3forum/index.php?post_id=29901　：を参照願います。



注２：「時間の遅れはお互い様」という主張の根拠は「観測者は『自分が立つ時計が移動してはいない＝運動系ではない＝静止系である』と主観的に判断してよい＝特殊相対論はそのような観測者の判断を認める」という認識にあります。

しかしながら上記で示された事は「観測者が単に主観的に『自分は動いていない＝静止系である』と自分勝手に認識する慣性系と、実際にそこにある客観的な静止慣性系とでは異なったMN図が現れる」という事です。

従って「観測者の主観的な判断による静止慣性系」は「客観的に存在している静止慣性系とは異なり見かけ上のものである」と言う事になります。



追伸：上記で述べた様にMN図１とMN図２はローレンツ変換によってはお互いに入れ替わる事ができません。

そうであればまたこの事も「MN図１とMN図２は同じ状況を表すものとは言えない」と言う事のもう一つの証明になっている様です。

ちなみにこのあたりの状況ですが、光の場合は静止系と運動系はローレンツ変換で結びつき、そうしてその結果は「静止系で見た時に確認できた、発光点からの同心円状に広がる光の姿を運動系でもまったく同様に確認できる」と言う事になっていました。

それで「光がどうしてそのようにふるまえるのか」という事ですが、光の場合はローレンツ変換対象となる一連のイベントはライトコーンと当該ローレンツ変換によって決められる同時刻平面との交点になっている、と言うのがその理由となります。

そうであれば結局の所、当該ローレンツ変換が決める事になるひとかたまりのイベントはローレンツ変換後は同心円状になるのです。

そのありさまと言えば「まるで出来試合の様」に同心円状になる様に変換対象となるイベント集合を変換を行う当のローレンツ変換が選びだすのですからそうなる以外の結果は出てきません。

そしてこの件状況詳細につきましては：「その３・ MMの楕円の３Dプロット」：　http://fsci.4rm.jp/modules/d3forum/index.php?post_id=28869　：を参照願います。


さてしかしながら「時計を使った時間の遅れ確認」ではどうやら「静止系から見た状況」と、「その同じ状況を運動系から見た場合」とでは「違った姿が見える」と言う事の様です。

というのも時計の場合は当該ローレンツ変換が決める同時刻平面はイベントそのものの決定に対しては何の影響も与えないからであります。


追伸の２：時間と空間の非対称性について

ミンコフスキー時空においては２つのイベントの間の距離は固有時で表されます。

そうして勿論「固有時は時間距離」であって「空間距離」ではありません。

したがって「ミンコフスキー時空では時間と空間は対等ではない」という事になります。

さてそうであれば「ローレンツ短縮はお互い様」であったとしても「時間の遅れはお互い様である必要はない」という事になります。


ちなみにミンコフスキー自身は固有時と時間の遅れを別の事であると認識していた様です。

そうであればこそミンコフスキー自身は「時間の遅れはお互い様論者でありえた」という事になります。

そうしてそれに対してランダウ、ジューコフの認識、

『どの様な基準系から見ようと（注４）針が10回転した事実はかわりませんので“固有時”は絶対的な量です。（注５）』
と言う表現はミンコフスキーの認識をさらに一歩進めたものであると言えます。

なおこの件詳細につきましては「固有時パラドックス・相対論」：　http://fsci.4rm.jp/modules/d3forum/index.php?post_id=29799　：を参照ねがいます。

PS：相対論・ダークマターの事など　記事一覧

https://archive.ph/4s3Bh

https://archive.md/QNUJ8

時計Bからみた時のMN図

５、時計Bからみた時のMN図

さて今度は立場を入れ替えて時計Bから見た時のMN図を考えましょう。

図２のプロット

y=x,y=-x,y=0,x=0,y=1.25x+5,x=-4,y=5　 プロット　　-10<x<10,　-10<y<10

図２の実行アドレス

https://ja.wolframalpha.com/input?i=y%3Dx%2Cy%3D-x%2Cy%3D0%2Cx%3D0%2Cy%3D1.25x%2B5%2Cx%3D-4%2Cy%3D5%E3%80%80+%E3%83%97%E3%83%AD%E3%83%83%E3%83%88%E3%80%80%E3%80%80-10%3Cx%3C10%2C%E3%80%80-10%3Cy%3C10

X軸、Y軸、±４５°の線の説明は前回と同じです。

但し今度は時計Bが静止している、と見ますから、時計BがY軸上を下から上に移動します。

それに対して時計Aが左から相対速度V＝０．８Cで接近してきます。

従って時計Aを表す世界線はｙ＝５＋１．２５X　となります。

距離Lは前回同様に４ですから、時計AはX=-4 で時計Bの時間が０秒の時にリセットされます。



それでこの場所で時計Aとすれ違う時計は時計Dです。

この時計Dは時計Bと同じ慣性系βにあり、時計Bとは同期が取れています。

こうして時計Dを使う事で時計AはX=-4の場所でリセットする事が可能となります。

それで時計Aがリセットされたイベントがイベント③となります。

従ってイベント③の座標は（t3,x3)＝（０、－４）です。



さてそれで、時計Aはそのまま時計Bに接近し時計Bの時間で５秒後に時計Aは時計Bとすれ違います。

この時のイベントは前回イベント②としました。

このイベント②の時計Bから見たMN図での座標は（t4,x4)=（５、０）です。

時計Aはイベント③でリセットされそのままイベント②に向かって移動します。

したがって固有時の定義「２つのイベントの間を移動する時計の経過時間が固有時である」に相当するのはこの場合時計Aの時間経過となります。

それで時計Aの固有時τ①は

τ①＾２＝５＾２－４＾２　となり

従って

τ①＝ｓｑｒｔ（５＾２－４＾２）

＝３

となります。



あるいは時計Bの座標時５（秒）と時計Aの接近速度V＝０．８Cを使って

τ②＝５＊ｓｑｒｔ（１－０．８＾２）

＝３

とも計算できます。



さてこうして見てきましたように「その２・固有時パラドックス」：　http://fsci.4rm.jp/modules/d3forum/index.php?post_id=29825　：で示した内容がMN図を使う事でも確認できました。

その結果は時計Aの固有時と時計Bの固有時は３秒となりイベント②でこの２つの時計はすれ違うのですが、その時には時間の遅れは観測されない、という結論になりました。

しかしながら、実際の我々の住む宇宙では時間の遅れが観測されています。

そうなりますと時計Aと時計Bの固有時を計算した手順の中に間違いがある、と言う事になります。

さあその間違いはどこにあるのでしょうか？



「時間の遅れはお互い様」という前提の中にあるのです。

この前提にたって時計Aは「自分が静止系である」と宣言し時計Bの固有時を算出します。

そうしてまた時計Bも同様に「自分こそが静止系である」として時計Aの固有時を算出します。

その結果は「一つの状況しか現実には存在しないのにMN図が２枚出来上がる」という事態に至るのです。

そうしてこの状況はまさに「MN図の唯一性定理に違反している状況である」という事になります。（注１）



さて状況がここに至りて問題のありかが見えてきました。

つまりは「どこに静止系があるのか？」と言う事なのです。

時計Aが現実の静止系ならば図１が正しく図２は間違いです。

そうしてまた時計Bが実際の静止系ならば図２が正しく図１は間違いなのです。（注２）

さあそうなりますと「我々は実際の観測データからどうやって正しいMN図を描く事ができるのか？」と言う事になります。

そうしてそれが出来ますれば「固有時パラドックスは解消される」と言う事になるのです。

そうしてそれはまた「静止系がどこにあるのかが分かる」と言う事でもあります。





注１：この件、詳細につきましては「ＭＮ図の唯一性定理」：　http://fsci.4rm.jp/modules/d3forum/index.php?post_id=28603　：を参照ねがいます。

注２：以上の状況は「MN図に描かれるY軸＝静止系は観測者が主観的に判断してよいものではない」と言う事を固有時の存在は物語っていると言えます。

つまり「特殊相対論は主観物理学ではない」と言う事になります。

そうしてここで言う「主観物理学」というのは「観測者依存の物理学」＝「観測者がいればその数だけ静止系があるとする立場」を指します。

それでこの立場から「時間の遅れはお互い様」が出てくるのでした。



追記：時計のリセットについて

上記本文にて

「距離Lは前回同様に４ですから、時計AはX=-4 で時計Bの時間が０秒の時にリセットされます。

それでこの場所で時計Aとすれ違う時計は時計Dです。

この時計は時計Bと同じ慣性系βにあり、時計Bとは同期が取れています。

こうして時計Dを使う事で時計AはX=-4の場所でリセットする事が可能となります。」と書きました。

しかしながら実際は「時計Dとすれ違った時に時計Aのリセットボタンを押す」という操作は必要ではないのです。



コトバの上でリセットと表現していますが、実際は時計Aと時計Dはすれ違う時にお互いの時計の針の位置を読み取る、そうしてまたその時に自分の時計の針の位置を読み取って相手の時計の針の位置と伴に記録に残す、という行為をするだけです。

つまりは「時計に対しては何の操作も行わない＝行う必要はない」のです。

そのかわりに「相手と自分の時計の時刻を観察し記録する」という観測・記録行為をそれぞれの時計に立っている観測者は行う事になります。

さてそのようにすると何故、時計Aが時計Bの時刻＝０秒でリセットできたことになるのでしょうか？

時計Aにとって必要な情報はイベント③（＝時計Aと時計Dのすれ違い）からイベント②（時計Aと時計Bのすれ違い）に至るまでに自分の時計の針がどれだけ進んだか、であります。

それは自分の時計の針を見ていれば確認できるのですが、それだけではそのデータは客観的なデータにはなりません。

それでそのデータの客観性を担保するのが時計Aとすれ違う時計Dと時計Bの役目です。



時計Dは時計Aすれ違う時に時計Aの針の位置を記録します。

そうしてまたこの時に時計Dは自分の時計の針の位置も記録します。

こうしてイベント③での時計Aの時刻と時計Dの時刻はそれぞれ、相手の観測者によって確認され記録されますので、後日、この２つのデータを突き合わせることで時計Aと時計Dの針の位置がイベント③でどこにあったのか、明らかになるのです。

そうしてこのデータについては、第三者の観測者がどのような速度でイベント③を観測しても、時計Aと時計Dがイベント③で指していた針の位置に影響を与える事はない＝客観的な実在としての事実がそこにある、と言う事になるのです。



さてここで時計Bにとってみれば、時計Aとｘ＝－４ですれ違ったのは時計Dなのですが、この時計Dは時計Bと同じ慣性系βに属しており、なおかつ時計Dは時計Bと時刻合わせが済んでいるのです。

従って時計Dが時計Aとすれ違った時の時計Aの針の位置＝イベント③での時計Aの時刻は時計Bにとっても時計Dと同じに扱う事が可能になります。

つまり

イベント③での時計Dの時刻TD＠イベント③＝その時に原点に在った時計Bの時刻TB＠原点

と言う事です。

そうして時計Bはイベント②で時計Aとすれ違います。

その時の時計Bの時刻は時刻TB＠イベント②です。

そうして又その時の時計Aの時刻は時刻TA＠イベント②です。

それでこの２つの時刻は時計Aと時計Bによって相互に確認されますので、客観性が保障された実在データとなります。



さて時計Bから見たMN図を作る、という立場からすれば、イベント②の時刻＝イベント②の座標時が必要になります。

それは原点をゼロ秒とした時にイベント②で時計Bが何秒を指していたか、と言う事ですから、

時刻TB＠イベント②ー時刻TB＠原点

で計算する事ができます。

同様にして時計Aの固有時τAはイベント③からイベント②までに時計Aで計った経過時間ですから

時刻TA＠イベント②－時刻TA＠イベント③

で算出できます。

そうしてこの時に使った時刻TA＠イベント③の値は時計Dでの時刻TD＠イベント③によってその時に原点にある時計Bの時刻TB＠原点 と関連がつけられているのです。

こうして、「時計Aのリセットボタンを押す」という行為なしで、原点にある時計Bの時刻とそれに接近しつつある時計Aの時刻がｘ＝－４においてリンクさせることができ、これが実質上の時計Aのリセットの代用となるのでありました。


PS：相対論・ダークマターの事など　記事一覧

https://archive.md/QODbO

https://archive.md/77fsz

 

 

時計Aからみた時のミンコフスキー図

４、時計Aからみた時のNM図（ミンコフスキー図）

さて今度はこの状況をMN図を使って確認しましょう。

図１のプロット

y=x,y=-x,y=0,x=0,y=-1.25x+5,x=4,y=5　 プロット　　-10<x<10,　-10<y<10

図１の実行アドレス

https://ja.wolframalpha.com/input?i=y%3Dx%2Cy%3D-x%2Cy%3D0%2Cx%3D0%2Cy%3D-1.25x%2B5%2Cx%3D4%2Cy%3D5%E3%80%80+%E3%83%97%E3%83%AD%E3%83%83%E3%83%88%E3%80%80%E3%80%80-10%3Cx%3C10%2C%E3%80%80-10%3Cy%3C10

注４：うまくプロットできない時はこちらから

X軸は空間軸、Y軸は時間軸を表します。

Y軸上を時計Aが時間軸プラス方向に移動します。（ですからY軸が時計Aの世界線です。）

但し時計Aは空間軸方向には移動しませんから時計Aが静止系になります。

±４５°の線は光の世界線です。

時計Bの世界線は緑色の右下から左上に向かう直線で示されます。

直線の式は

ｙ＝５－１．２５X　

時計Bは時計Aに対して相対速度V=０．８Cを持ちますから、傾きは１．２５、右側から左側に進行しますので傾きの符号はマイナスです。

そうして時計Bは時計Aの時刻で０秒の時にリセットされます。

その場所はX=4の所になっています。

つまり、X軸上に時計Bが到達した時点で時計Bは時計Aと時刻合わせをするのです。

ですのでそのイベント①の座標はイベント①＝（t1,x1)＝（０、４）となります。



そうして時計Aの読みで５秒後に時計Bは時計Aとすれ違います。

そのイベント②が起こる座標はイベント②＝(t2,x2)＝（５、０）です。

以上で時計Aから見たNM図の完成となります。



そうしてこのMN図によれば時計Bの固有時τ②は

τ②＝sqrt(5^2-4^2)

=3　　となります。（注１）



そうしてこれは又時計Bが相対速度V＝０．８Cで時計A時間で５秒間接近した、と見る事もできます。

この時　時計Bは時計Aに対して sqrt(1-0.8^2) の割合で時間が遅れます。

従って時計Aの５秒は時計Bでは

Δt②＝5＊ sqrt(1-0.8^2)

=3　　

となり、これがもう一つの時計Bの固有時の計算方法となります。



ちなみにこのMN図から分かります様に時計Bがその時計をリセットした時に時計Bとすれ違った時計は時計Aではなく時計Cとなります。

その時計Cの世界線はMN図では紺色のY軸と平行になっている直線（X=4)で示されています。

この時計Cは時計Aと同じ慣性系αに属していますので、時計Aと時計Cは同期が取れています。

それで注意が必要なのは時計Aが示している経過時間５秒、と言うのはこのMN図の座標時であり、時計Aの固有時ではない、という所にあります。

というのもイベント①で時計Bとすれ違ったのは時計Cであって時計Aでないからです。

そうして固有時の定義「２つのイベントの間を移動する時計の経過時間が固有時である」に相当するのはこの場合時計Bの時間経過だけである、と言う事になります。（注２）



しかしながら、前回示しました「距離Lで相対速度０．８Cで接近しつつある２つの時計AとBをリセットする」という状況は、具体的には「一つの慣性系αにある距離Lだけ離して時計Aと同期させた時計Cを使う」という方法によって実現可能となります。

ちなみにこの状況がランダウとリフシッツが示した状況「時間が遅れて観測されるのはいつも２つの時計とすれ違う一つの時計の方である」という事になります。（注３）



さて、以上の様にして時計Aから見た時のMN図によって時計Bの固有時τ②が３（秒）である事を示す事が出来ました。

τ②＝Δt②＝３（秒）



注１：イベント①の座標を（t1,x1)としイベント②の座標を(t2,x2)とします。

そうすると時計Bの固有時τ②は定義より

τ②^2＝(t2-t1)^2-(x2-x1)^2

=(5-0)^2-(0-4)^2

=5^2-4^2

となります。

ちなみにこれで計算方法があっている事は以下の記事にてご確認願います。

「世界間隔の共変性と固有時について」：　https://archive.ph/SieXr　：



注２：イベント①では時計Bは時計Cとすれ違いました。

そうしてイベント②で時計Bは時計Aとすれ違ったのです。

それでこの状況、「イベント①からイベント②に移動する間に時計Bの針が動いた量＝時計Bの経過時間＝時計Bの固有時」と言うものについては、それを時計Bに対してどのような相対速度Vをもつ観測者が観測してもτ②になる、と言う事は自明な事であります。

というのもその第三の観測者の観察行為は時計Bに対しては何の影響も与えないからであります。



注３：「ランダウ、リフシッツ　パラドックス」：　http://fsci.4rm.jp/modules/d3forum/index.php?post_id=29541　：

『２つの基準系の時計を比較する為には、一方の基準系では数個の時計、他方の基準系では一個の時計を必要とする事が分かる。

従ってこの操作は両方の系について対称ではない。遅れると判断される時計は常に同一で、それが他の系の異なったいくつかの時計と比べられるのである。・・・』


注４：ウルフラムのトップページに移動
https://ja.wolframalpha.com/

入力欄に以下の文をコピペしてリターン（[＝]ボタンをポチる）
y=x,y=-x,y=0,x=0,y=-1.25x+5,x=4,y=5　 プロット　　-10<x<10,　-10<y<10

一回でうまく行かなくても、何回か行う。

それでもダメなときはしばらく時間を空けるとうまく行く。


PS：相対論・ダークマターの事など　記事一覧

https://archive.md/lS5Xl

https://archive.md/8ekGV

 

その２・ 固有時パラドックス

３．固有時パラドックスの発生

相対速度V＝０．８Cで接近しつつある二つの時計A,Bを考えます。

時計Aは左から右に、時計Bは右から左に等速直線運動をしています。

そうであればこの２つの時計はそのまま２つの慣性系を代表しています。

そうしてこの時計にはそれぞれ観測者が立っています。



いま距離 L だけ離れた所でその２つの時計をリセットします。

そうしてそのまま２つの時計は接近して距離 L の中のどこかの場所ですれ違います。

それですれ違う時にお互いに相手の時計の針の位置を確認します。

こうして時計A,Bはすれ違った時に相手の時計の時刻を知る事になります。



さてこの時に時計Aの立場に立てば「距離L離れた場所でリセットした時計Bがこちらに相対速度Vで接近してくる」となります。

距離Lを速度Vで走りますからt1秒後に時計Bはこちらに到着する、と時計Aは計算します。ここでt1=L/V です。

さてそうであればすれ違う時の時計Bの針の位置（＝リセットしてからここまで来るのにかかった経過時間）τ2（タウ２）は次のように計算できます。

τ2＝t1＊ｓｑｒｔ（１－V^2)

時計Aは静止しており、時計Bが運動しているから、その分時間が遅れる、と言うのが相対論の主張ですからこうなります。

そうして又これは前回示した様に時計Bの固有時そのものになります。



さてそれで、今度はこの状況を時計Bの立場で考えます。

時計Bの立場に立てば「距離L離れた場所でリセットした時計Aがこちらに相対速度Vで接近してくる」となります。

距離Lを速度Vで走りますからt2秒後に時計Aはこちらに到着する、と時計Bは計算します。ここでt2=L/V です。

さてそうであればすれ違う時の時計Aの針の位置（＝リセットしてからここまで来るのにかかった経過時間）τ1は次のように計算できます。

τ1＝t2＊ｓｑｒｔ（１－V^2)

そうしてこれは又時計Aの固有時そのものになります。

時計Bは静止しており、時計Aが運動しているから、その分時間が遅れる、と言うのが相対論の主張ですからこうなります。

そうしてまたこのように時計Aと時計Bの立場は入れ替える事が可能である、と「時間の遅れはお互い様」が主張するのです。



さてここで

t1=L/V=t2

従って

τ2＝t1＊ｓｑｒｔ（１－V^2)

＝t2＊ｓｑｒｔ（１－V^2)

＝τ1



こうして以上の議論から出てくる結論は

τ2＝τ1　つまり

時計Aの固有時と時計Bの固有時は同じである、と言う事になります。

それで、時計Aの固有時と時計Bの固有時はどの場所で同じだったのでしょうか？

２つの時計がすれ違う場所で同じであったのです。

そうして前回示しましたように「固有時は客観的な存在」でありますから、どこから見てもその値になるのです。

そうして固有時は「２つの時計がすれ違うというイベントが発生した場所までにそれぞれの時計が移動するのに必要だった経過時間を示します」から、すれ違う時には時計A、Bの針の位置はそれぞれτ1とτ2の位置にあった、と言う事になります。

すれ違う時のそれぞれの時計が示していた時刻

時計A＝τ1

時計B＝τ2

そうして

τ2＝τ1　ですから

「時計Aから時計Bを見ても、時計Bから時計Aをみても時間の遅れは観測できない」という事になります。



まとめますと、

宣言１・相対速度Vで運動している方はｓｑｒｔ（１－V^2)で時間が遅れる。（＝ローレンツ変換が成立する。）

宣言２・時間の遅れはお互い様（＝全ての慣性系は平等）

宣言３・固有時は客観的な存在（＝固有時はローレンツ不変）

以上の宣言＝前提から出てくる結論は「相対速度Vで運動している２つの慣性系の間では時間の遅れは観測できない」と言う事になります。

しかしながら実験による実測では「時間の遅れが観測されている」のです。

これがここで問題にしている固有時パラドックスの内容です。



さてそれで、そうであれば上記の３つの宣言は同時には存在できないのです。

つまり３つのうち一つは退場しなくてはならない、という事になります。

そうして当方の見る所、退場する事になるのは「宣言２・時間の遅れはお互い様」と言う事になります。（注１）



さて以上がいままで業界が問題にしてこなかった固有時パラドックスとなります。



注１：「宣言２・時間の遅れはお互い様（＝全ての慣性系は平等）」はローレンツ変換則を導出するまでは一定の役割を持っていましたが、ローレンツ変換がこの宇宙で成立している事を認めた場合、「全ての慣性系は平等」という宣言は役割を終えた、と見る事が出来ます。

実際、ローレンツ変換の導出後で「宣言２・時間の遅れはお互い様（＝全ての慣性系は平等）」を必要条件とする理論展開は存在していない様に見えます。

他方で「宣言３・固有時は客観的な存在」（＝固有時はローレンツ不変＝時計AとBがすれ違った時のそれぞれの時計の針の位置はどのような観測者から見ても変化しない）という内容を基礎とした固有時導入からの理論展開は相対論を量子力学に展開していく上での基礎となり、その結果は相対論的量子力学の誕生につながっています。ーー＞「相対論　四方山話」：　https://archive.md/Qj7Bh　：を参照願います。


PS：相対論・ダークマターの事など　記事一覧

https://archive.md/NCHeR