参照資料 英文:目次: https://archive.md/PZYa4 :相対論 特殊と一般の理論
RELATIVITY THE SPECIAL AND GENERAL THEORY:
A. EINSTEIN December, 1916
次はいよいよ「同時性の相対性」を語っている9章とそのまえの8章になるのですが、ここでは
第8章 物理学における時間の概念について: https://archive.md/FOyci :の前半部分を訳出します。
ちなみに以下の訳はチャットGPTによるものです。
それから訳文にでてくる「堤防」というコトバは駅にあるプラットホームの事です。
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8章「物理学における時間の概念について」(前半の1)
アインシュタイン:
鉄道の堤防上のレールに、遠く離れた二点 A と B に雷が落ちた。私は、これら二つの雷が同時に発生したと主張する。この主張に意味があるかと尋ねられれば、君は「はい」と明確に答えるだろう。しかし、もし私がこの主張の意味をより正確に説明するよう求めたなら、少し考えた後、答えがそれほど簡単ではないことに気づくだろう。
しばらくして、次のように答えるかもしれない。「この主張の意味は自明であり、特に説明する必要はない。ただし、実際に二つの出来事が同時に起こったかどうかを観測によって確かめる任務を課せられたとしたら、それについて考察する必要があるだろう。」しかし、私はこの答えには満足できない。
なぜなら、もし有能な気象学者が巧妙な考察の結果、雷は常に A と B に同時に落ちることを発見したとする。その場合、私たちはこの理論的結果が現実と一致するかどうかを検証しなければならない。実際、「同時」という概念が関わるすべての物理学的主張において、同じ困難が生じる。「同時」という概念は、物理学者にとって、それが現実に適用されるかどうかを判定する手段を持つまでは、実在しないのと同じである。したがって、私たちは、今回の事例において、実験によって雷の閃光が同時に発生したかどうかを判断できるような同時性の定義を求める必要がある。この要求が満たされない限り、私は物理学者として(そしてもちろん物理学者でなくとも)、同時性の主張に意味を与えることができると考えるのは錯覚にすぎない。(読者には、この点について完全に納得するまで、先を読み進めないようお願いする。)
しばらく考えた後、君は同時性を判定するための次のような提案をする。レールに沿って距離 AB を測定し、その中点 M に観測者を配置する。この観測者は、例えば90°に傾けた二枚の鏡を使用し、A および B の両地点を同時に視認できる装置を持つものとする。もし観測者が二つの雷の閃光を同時に知覚したならば、それらは同時に発生したと判断できる。
ーーーコメントの1ーーー
『鉄道の堤防上のレールに、遠く離れた二点 A と B に雷が落ちた。私は、これら二つの雷が同時に発生したと主張する。』<--ここでアインシュタインはホームに立っていて「雷がレールの2点AとBに同時に落ちた」と主張しています。
それはつまり「ホームが静止系であってそこから観察すると雷は同時に落ちた」という設定です。
というのもこれまでの議論で明らかにしたように「同時である事」は静止系に立つ観測者によってのみ断言できることであるからです。
ーーーコメントの2ーーー
『「同時」という概念は、物理学者にとって、それが現実に適用されるかどうかを判定する手段を持つまでは、実在しないのと同じである。したがって、私たちは、今回の事例において、実験によって雷の閃光が同時に発生したかどうかを判断できるような同時性の定義を求める必要がある。』<--アインシュタインはここで明らかに「同時である事」について話しています。
そうであればアインシュタインが言う同時性の定義というのは明らかに『同時である事の定義』なのです。
ーーーコメントの3ーーー
『レールに沿って距離 AB を測定し、その中点 M に観測者を配置する。この観測者は、例えば90°に傾けた二枚の鏡を使用し、A および B の両地点を同時に視認できる装置を持つものとする。もし観測者が二つの雷の閃光を同時に知覚したならば、それらは同時に発生したと判断できる。』<--ここに書かれている「距離が離れた場所で起きた2つのイベントについて『それが同時に起きたのであるかどうかを判断する手順』と言うものがアインシュタインが提示している『同時である事の定義』でもありそうしてまたその事を確認する方法」となっています。
このアインシュタインのやり方「確認する手順がそのままその事の定義となる」という方法は「操作主義(英:operationalism)」と言われるものです。
さてそれで「左右から観測者に来る光を45度に傾けた2枚の鏡を頂角が90度になる様に設定した目視装置使って一つの目に左と右からの光が入るようにする。」
その様にできた装置で右と左から来る落雷の光を見た時に「同時に光った」ならば「雷はAとBに同時に落ちた」と判断できる、と言っています。
もちろんそのようにして「同時である事が判定できる大前提」は「レールが(=ホームが)静止系である」という事です。
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アインシュタイン:
私はこの提案に非常に満足する。しかし、それでもなお、この問題が完全に解決されたとは考えられない。なぜなら、次のような異議を申し立てる必要があるからだ。「君の定義は確かに正しいかもしれない。しかし、それは観測者 M に到達する雷の閃光が A → M の経路を進む速さと B → M の経路を進む速さが同じであることを知っていればの話だ。
しかし、この仮定の正しさを検証するには、すでに時間を測定する手段を持っている必要がある。したがって、この議論は論理的な循環に陥っているように思われる。」
ーーーコメントの1ーーー
さてここでアインシュタインは「A → M の経路と B → M の経路を光が飛ぶ速さの事」を注意しています。この速さが同じ場合に限って上記方法は有効なのです。
なんとなれば「中間点Mに左右から同時に光が届いた」と言うだけでは「左右の出発点から同時に光が出た」という事の保証にならないからです。
それを保証するものが「光が飛ぶ速さは左と右で同じ」という前提条件です。
左右の出発点から中間点Mまでの距離は等しいので飛ぶ速さが同じであるならば光の飛行時間Δtは右と左で同じになります。
そうして中間点Mに光が届いた時の時刻をMtとするならばその時刻からΔtを引いた時刻が左右の出発点から光が出た時刻となります。
そうしてもちろんその時刻は左右で同じ Mt-Δt となっているのです。
そうしてその事を指してここでは「同時である」と言っています。
それでこの時に注意すべきは「時刻Mtおよび飛行時間Δtは全て中間点Mの時計を使っている(時計Mで測っている)」という所にあります。
そうであれば「アインシュタインが提示している同時である事を判断できる方法の鍵」は「左右のΔtが同じ」=「光が飛ぶ速さは左と右で同じ」という事になります。
但しこの時の光の速度=片道光速は「一つの時計で測る」=「時計Mで測る」が前提となります。
つまりは「左右の出発点から出た光が中間点Mに到達するまでに必要とした時間Δtは時計Mで測る」のです。
そうであればここでのポイントは「同時である事の判定には地点Aと地点Bに置かれた時計は使わない」という所にあります。
さて以上の様に考えた場合「中間点Mに立った観測者が左右から来た光を同時に確認したら、その光は地点Aと地点Bを同時に出たのでしょうか?
答えは「静止系であればそのように判断できる」となります。
なんとなれば「空間の等方性から考えて光速に異方性が存在するとは思えないから」です。
そうであれば「同時である」という判定に「地点Aと地点Bに置かれた2つの時計の時刻合わせは必要ない」のです。(注1)
ーーーコメントの2ーーー
さて以上の話は静止系ではその通りです。
しかしながら運動系に於いては「光が飛ぶ速さは左と右で違う」のです。
ここで運動系は静止系に対して左から右に速度Vで動いているとします。
そうして地点Aは地点Bの左方向距離2Lの場所にあります。
地点Mは地点Aと地点Bの真ん中です。
さてその場合A → M の経路での光の飛行時間Δt(A → M)は
Δt(A → M)=L/V(A → M:M)
同様にしてB → M の経路での飛行時間Δt(B → M)は
Δt(B → M)=L/V(B → M:M)
ここでA → M の経路での光の飛行速度はV(A → M:M)
同様にしてB → M の経路での飛行速度はV(B → M:M)です。
V(〇→〇:M)の:Mは「この片道光速は時計Mで測った値である事」を示しています。
そうして
V(A → M:M)≠V(B → M:M) であれば
Δt(A → M)≠Δt(B → M)
ちなみにV(A → M:M)<V(B → M:M) ですので
Δt(A → M)>Δt(B → M) となっています。
さてこの時に『同時である』と言う条件はローレンツの局所時間を使って
Δt(A → M)ーΔt(B → M)=2LV ・・・①式
と書くことができます。(注2)
それでこの時に注意すべきは「飛行時間Δt(A → M)およびΔt(B → M)は中間点Mの時計を使って測る」という所にあります。
そうであればこの時の光の片道速度V(A → M:M)およびV(B → M:M)は「一つの時計で測る」=「時計Mで測る」を示しています。
つまりは「左右の出発点から出た光が中間点Mに到達するまでに必要としたそれぞれの時間Δtは時計Mで測る」のです。
これができれば「対象としたイベントが静止系でおきたのか運動系で起きたのかに関係なく同時である事の判定が①式で可能となる」のです。
そうであれば①式は「同時である事を判定する一般式」という事になります。
そうしてまた運動系に於いては光が地点Aと地点Bから「同時に出た」のであれば中間点Mには「同時には着かない」という事もわかります。
それはつまり「運動系に於いては同時に地点Aと地点Bから出た光は中間点Mにはローレンツの局所時間2LVだけずれて到着する」のです。
さてそれでここでのポイントもコメントの1と同様に「同時である事の判定には地点Aと地点Bに置かれた時計は使わない」という所にあります。
ちなみに①式でV=0、つまり「静止系である」とすると①式は
Δt(A → M)ーΔt(B → M)=0
従って
Δt(A → M)=Δt(B → M)=Δt
となりコメントの1の条件になる事がわかります。
そうであれば①式は「同時である事を判別する一般式」となります。
ーーーコメントの3ーーー
さてここでアインシュタインの主張に戻りますと「A → M の経路と B → M の経路を光が飛ぶ速さの事」を注意しています。
「この速さが同じ場合に限ってアインシュタインの確認方法は有効である」と言っています。
しかしながら「光がその2つの経路を飛ぶ速さの測定の為」には前もって「時間を測定する手段を持っている必要がある」とアインシュタインは言います。
その手段とは具体的には「光の出発点に置かれた時計Aと時計Bが終点に置かれた時計Mに対して時刻合わせが終わっている事が必要である」とアインシュタインは主張するのです。
そのように3つの時計が準備できていれば「光の到着点であるMに置かれた時計の光の到着時刻Mtから出発点Aでの光の出発時刻Atそうして出発点Bでの光の出発時刻Btを差し引くことで、光が所定の距離を移動するのに必要とした時間がわかる」と言っているのです。
そうして「そうやって求めた光の移動に要した時間で距離Lを割る事で光の片道光速が分かる」としているのです。
つまりはアインシュタインが「光が A → M の経路を進む速さと B → M の経路を進む速さが同じである」と言っている「光の速さ」というのは「時刻合わせが済んでいる2つの時計を使って測る片道光速の事」なのです。
具体的にはA → M の経路での飛行時間Δt(A → M)は
Δt(A → M)=Mta-At
同様にしてB → M の経路での飛行時間Δt(B → M)は
Δt(B → M)=Mtb-Bt
となります。
そうして「飛行に必要だった時間」がわかれば「そこから飛行速度が計算できる」と。
地点Aから地点Bまでの距離を2Lとするならば
A → M の経路での光の飛行速度V(A → M:2)は
V(A → M:2)=L/Δt(A → M)=L/(Mta-At)
同様にしてB → M の経路での飛行速度V(B → M:2)は
V(B → M:2)=L/Δt(B → M)=L/(Mtb-Bt)
ここでV(〇→〇:2)の:2は「この片道光速は2つの時計で測った値である事」を示しています。
こうして「光が A → M の経路を進む速さと B → M の経路を進む速さが同じかどうか判断できる」と言うのがアインシュタインの主張です。
しかしながら残念なことに、時計Aと時計Mの時刻合わせをするには「光がA → M の経路を飛ぶのに要する速度が分かっている事が必要」なのです。
そうしてこの場合に必要となる光の片道速度についてはアインシュタインは「時刻合わせが済んでいる2つの時計を使って測る片道光速である」としています。
つまりは時計Aと時計Mの時刻合わせでは
Mta=At+Δt(A → M)=At+L/V(A → M:2) ・・・②式
で完了です。
そうしてまた時計Bと時計Mの時刻合わせでは
Mtb=Bt+Δt(B → M)=Bt+L/V(B → M:2) ・・・③式
で完了です。
こうして分かる事は「光の速さを測定する為には2つの時計の時刻合わせが終わっている事が必要」。
そうして「2つの時計の時刻合わせの為には2つの時計のあいだを飛ぶ光の速度が必要」。
その光の速度は「時刻合わせが済んでいる2つの時計を使って測る片道光速」なのです。
さてこうして「この話は見事な循環論になっている」アインシュタインはそう言っているのです。
ーーーコメントの4ーーー
以前のページまでで2つの時計の時刻合わせを検討してきました。
その結果は「時刻合わせされた2つの時計を使った光の片道速度測定ではその値は常に1Cとなる」というものでした。
そうしてそれは1905年の論文でアインシュタインが導入したアインシュタイン コンベンションの結果から出てきた結論でした。
くわえてそれはそのまま「2つの時計の時刻合わせをする」という事は「その2つの時計を使った片道光速の測定値を1Cになる様にすることである」となります。
さて以上の話をそのまま②式と③式に展開します。
つまり
V(A → M:2)=1C
V(B → M:2)=1C
とするのです。
そうすると②式より
Mta=At+Δt(A → M)=At+L/V(A → M:2)
=At+L/C
③式より
Mtb=Bt+Δt(B → M)=Bt+L/V(B → M:2)
=Bt+L/C
そうして静止系、運動系を問わずに中点Mで左右からくる光を同時に観測したのであれば
Mta=Mtb=Mt
が成立していた事になります。
それは
At+L/C=Mt=Bt+L/C
という事が成立していたのであり、結局
At=Bt
となります。
つまり「光は地点Aを時計A時刻でAtの時に地点Mに向かって出た」
そうして「光は地点Bを時計B時刻でBtの時に地点Mに向かって出た」
そうしたらその2つの光は地点Mに一つの時刻Mtで着いた。
つまりは「同時に着いた」のです。
そうして「そうなる為には時刻At=時刻Btであった」という事になるのです。
つまり「時計Aと時計Bは光を同じ時刻の時に出した」のです。(注3)
さてそうであれば「2つの時計の時刻を合わせる」という事は文字通り「2つの時計の時刻を同じにする」ということです。
そうしてその事の具体的な方法が「それぞれの時計のある場所から同時刻に出た光が中点Mに同時に着くようにする」という事になります。
これを逆に言いますと「中点Mに同時に左右からの光が着いた」のであれば「光はそれぞれの出発点を同時刻に出た」という事になるのです。
さてそうであれば「静止系、運動系を問わず、中点に左右からの光が同時に着いたのであればその光は左右の出発点を同時刻に出た」となるのです。
そうしてこれがそのまま左右にある時計の時刻合わせの確認になっているのです。
さて以上の結論はアインシュタイン コンベンションの導入によって出てきたものですから当然「アインシュタインも同意する」のです。
しかしながら注意すべきは「静止系に於いては同時刻は同時である事」になりますが「運動系では同時刻は同時である事を意味しない」という事です。
ーーーコメントの5ーーー
この部分の議論は状況が入り組んでいてわかりにくいのです。
そうして入り組んでいる部分とは
・「同時である事」と「同時刻である事」
・「静止系」と「運動系」
・「一つの時計による片道光速」と「2つの時計による片道光速」
コメントの1とコメントの2は「1つの時計による片道光速」について「同時である事」について話しています。そうしてそれはローレンツ変換をベースとした話になっています。
コメントの3は「2つの時計による片道光速」についてそれが循環論になっている事を語っています。
コメントの4は「2つの時計による片道光速」について「そこにアインシュタイン コンベンションを入れることで出てくる結果」について語っています。
そうして結局「中間点Mで左右からの光の同時観測はその光が左右の出発点を同時刻に出た事の確認になる」がここでの結論です。
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まとめ
さてそれで結局のところ静止系であるにしろ運動系にしろ「中間点で左右からの光の同時観測はその光が出発点を同時刻に出た事の確認になる」のです。
そうしてその慣性系が静止系の場合に限って「同時刻は同時である事になる」のです。
従って「静止系で中間点で左右からの光の同時観測ができた」のであれば「その光は出発点を同時に出た」のです。
しかしながら「運動系で中間点で左右からの光の同時観測ができた」のであれば「その光は出発点を同時刻に出た」のですが「同時には出てはいない」のです。
ちなみに「相対性原理」と「2つの時計による片道光速」及び「アインシュタイン コンベンション」の組み合わせからは「ローレンツの局所時間は直接的には出てこない」のです。(注4)
しかしながらそれらの組み合わせからアインシュタインによって導出されたローレンツ変換の中には「しっかりとローレンツの局所時間が入っている」のです。
さてそうであればこれは「アインシュタインにとってはまことに皮肉な奇妙な結果である」となります。
なんとなれば「ローレンツの局所時間はエーテルの存在を前提としてローレンツによって導入されたもの」でした。
そうしてそのエーテルの存在をアインシュタインは否定して特殊相対論を作り上げたはずでした。
しかしながら結果的にそこには「否定したはずのローレンツの局所時間が存在していた」のです。
注1:さてしかしながら残念な事には「一つの時計を使った片道光速を計る手段を人類は持ってはいない」という所にあります。
そうであれば現実には「2つの時計を使った片道光速の測定しかできない」のでありこの事はアインシュタインが指摘している通りです。
さてそうであれば実際に「2つのイベントが同時に起きたかどうか」を判定するには「静止系で時刻合わせされた2つの時計を使う」という事になります。
なんとなれば「静止系で時刻合わせされた2つの時計を使った2つのイベントについての時刻のラベル付けを行う」という操作は正確に「一つの時計を使った片道光速の測定と同じになるから」です。
さてそうであれば「同時であるかどうかの判定」には「静止系をイベントの時刻のラベル付けに使う」という事がポイントになるのです。
さらにその前提は「どの慣性系が静止系であるのか分かっている事が必要」となります。
注2:①式の導出について
運動系に於いては片道光速V(〇→〇:M)は
V(A → M:M)=1/(1+V)
V(B → M:M)=1/(1ーV)
となっています。(「その4・アインシュタイン同期」: https://archive.md/znrfX :から引用。)
そうであれば
Δt(A → M)=L/(1/(1+V))=L(1+V)
Δt(B → M)=L/(1/(1ーV))=L(1ーV)
従って
Δt(A → M)ーΔt(B → M)=L(1+V)ーL(1ーV)=2LV
となります。
Q.E.D.
注3:「中間点での左右から来た光の同時観測が光が出発点を同時刻に出た」という事を示す「一つの時計を使った片道光速での別解」について
上記コメントの4では「2つの時計を使った片道光速での解」を示しました。
その方法はアインシュタインが示した方法の延長線上にあって、アインシュタインも十分に同意可能であるものです。
それでここでは「一つの時計を使った片道光速での別解」を示します。
この方法はアインシュタインの方法とは違っていてローレンツ変換に基礎を置くものです。
しかしながら結局は両者の結果は同じものになるであれば、「お互いに相手のやり方の正当性を別の観点から保証している」という事になります。
さてそれで最初に静止系の場合を見ますればコメントの4での結論はほとんど自明である様にみえます。
なんとなれば「空間の等方性によって光の伝達速度には異方性がない」と言えるからです。
他方で運動系については「それほど自明である」とはいえません。
さてそれで「運動系で2つの時計の時刻合わせをするとBT時間軸になる」という話をしてきました。
その2つの時計の時刻はローレンツの局所時間分だけずれるのです。
さてそうであれば中間点の時計の時刻がMtであった時には点Bの時刻Btは
Bt=MtーLV
同様にして点Aの時刻Atは
At=Mt+LV
となっています。
そうであれば時刻Mtに点Aと点Bから光を出す、とした場合は次のようになります。
・点Bの場合
時刻がMtになるにはあとLV秒だけ待たなくてはなりません。
そうであれば点Bで時刻Mtに出た光が中点Mに到達した時の中点Mの時刻の増加分ΔtBは
ΔtB=LV+L/(1/(1ーV))=LV+L(1ーV)=L
ここでL/(1/(1ーV))は光が点Bから中点Mまで飛ぶのに必要な時間です。
・点Aの場合
時刻がMtであったのはLV秒だけ前でした。
そうして光が点Aから中点Mまで飛ぶのに必要な時間はL/(1/(1+V))です。
したがって点Aで時刻Mtに出た光が中点Mに到達した時の中点Mの時刻の増加分ΔtAは
ΔtA=L/(1/(1+V))ーLV=L(1+V)ーLV=L
こうして点Aおよび点Bでの時刻Mtに出た光が中点Mに到達した時の中点Mの時刻の増加分Δtは同じ値L秒となっているのがわかります。
つまりは「時刻Mtに左右の点Aと点Bから出た光は中点Mに時計Mの時刻でMt+Lに同時に着く」のです。
もちろん点Aと点Bに置かれたそれぞれの時計が示す時刻Mtで光は中点Mに向かって出たのです。
Q.E.D.
注4:「直接的には出てこない」の意味
誰の目にも明らかなである、つまりは「ほとんど自明である」ように、あるいは「単にその3つの前提条件をベースに絵(=図)を描く事」と簡単な計算で明らかになる程度の「自明さ」では「ローレンツの局所時間は出ては来ない」という意味です。
「3つの前提条件」から「相当に複雑なロジックと計算をへてようやくローレンツ変換が導出される」と言うのが1905年の論文の中身です。
そうして「その様にして導出されたローレンツ変換」になってようやく「ローレンツの局所時間がそこに顔を出す」のです。
追記の1:以前のページで示した様に「同時である事の判定の対象となる2つのイベントそのものは現実の3次元空間で発生する」のです。
そうしてその2つのイベントが起きる発生点はどのような速度でどの方向に動いていても良いのです。
さてそうであれば「その2つのイベントは一つの慣性系の中に属している必要はない」という事になります。
ただしそのままでは「物理の対象にならない」のでそこで「位置と時刻をラベル付けする」のです。
これがアインシュタインがいう所の「イベントの数値化」であって「その数値化をする為の道具」が座標系なのです。
アインシュタインはこれを(=座標系を)直交する3つの剛体棒(=物差し)と原点に置いた一つの時計で表現しました。
さてそうであれば判定対象となる2つのイベントを「どの慣性系(=座標系)を座標値のラベル付けに使うか」でイベントに割り当てられる座標値(x,y,z,t)の値は異なってくるのは当然です。
そうして「同時であるという事を判定するのに使う慣性系は静止系である」と言うのがそこから出てくる答えなのであります。
くわえて「その静止系については使う時計のテンポの速さと距離の単位についてはすでに宇宙が決めている」のです。
なんとなれば「2つのイベントが起きている現実の3次元空間そのもの」がすでに「時間が進む速さ=時計のテンポ」と「片道光速の値は1Cである」となっているからです。
さてそうであればそこから「距離の単位が出てくる事」は当然であります。
追記の2:ここで展開されている「同時刻である事」と「同時である事」の違いについての説明はほとんどこれでアインシュタインが提示した「列車と雷」というテーマに対する当方の回答となっています。
そうであれば「この話が相当に複雑であって分かりにくい」あるいは「従来の列車と雷の話とは違う」という事については「そうなってしまうのは当然であって避けられない事である」と申し上げておきます。
なんとなれば「120年以上に渡って主張されてきた通説の解釈とは異なる事を言っている」のであれば「理解しにくいのはむべなるかな」となるのであります。
しかしながら「ここに至るまでには随分と関連する議論を積み重ねてきた」のであれば「それなりの準備をしてきた」という事は言えるかと思います。
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