前回、ヒルベルトプログラムが実現不可能であることをゲーデルが証明した、という予告をしてましたが、その前に集合の「濃度」という考え方について知っておくと理解しやすいので、ゲーデルのお話は2回先まで延期です。
さて、2つの集合を持ってきて、「どちらが大きいか？」と問われたらどうしますか？
例えば「人間の集合」と「男性の集合」なら、人間の集合のほうが大きいと言えるでしょう。なぜなら男性の集合は人間の集合の部分集合だからです。こんなふうに、集合の包含関係でもって集合の大小を議論する方法が一つ。
では、「男性の集合」と「女性の集合」を比べたらどうでしょうか？男性の集合と女性の集合には包含関係がありません。となれば、男性の人数と女性の人数を比較するのが一番自然。この「男性の集合」に対する「男性の数」、つまり集合の要素の数を「集合の濃度」と呼びます。
さて、人数(男女の集合の濃度)の比較のしかたを工夫してみます。世界中の男性と女性をかき集めてきて、好きか嫌いかは別として、無理矢理男女のカップルを作っていきます。そうしていって、最終的にカップルになれず余った性別の方が数が多かったんだな、という比較の仕方をします。もちろん男女同数なら無事全員カップルになるわけですが。
この方法の上手いところは、実際に男性の数と女性の数を数える必要がないところ。数を数える必要がないため、無限集合に適用することができます。
そんなわけで、例として自然数の集合と偶数の集合の大小を比較してみましょう。
まず包含関係で考えますと、偶数は自然数の部分集合ですので、自然数の方が大きな集合といえます。
一方、ある自然数nに対して偶数2nをカップリングしていきますと、どちらかが先に尽きるということはなく、ちょうど同数でカップリングできてしまいます。nの数だけ2nが存在する。ということは、自然数と偶数は同じ濃度をもっていると結論できます。
「包含関係だと大小が決まるのに、濃度だと同じ、っていうのは矛盾してない？」
と思ってしまうところですが、比較する物差しが違うだけですので矛盾ではありません。身長が高いからといって、必ずしも体重まで重いわけではないのと一緒ですね。
こうして「濃度」という無限集合に対する物差しを手にすることができましたので、次回はいろんな無限集合の濃度を調べ、ラッセルのパラドックスを引き起こし、直観主義者が批判した無限や、ヒルベルトが解決しようとした無限に関する不具合の回避方法を見てみましょう。
さて、2つの集合を持ってきて、「どちらが大きいか？」と問われたらどうしますか？
例えば「人間の集合」と「男性の集合」なら、人間の集合のほうが大きいと言えるでしょう。なぜなら男性の集合は人間の集合の部分集合だからです。こんなふうに、集合の包含関係でもって集合の大小を議論する方法が一つ。
では、「男性の集合」と「女性の集合」を比べたらどうでしょうか？男性の集合と女性の集合には包含関係がありません。となれば、男性の人数と女性の人数を比較するのが一番自然。この「男性の集合」に対する「男性の数」、つまり集合の要素の数を「集合の濃度」と呼びます。
さて、人数(男女の集合の濃度)の比較のしかたを工夫してみます。世界中の男性と女性をかき集めてきて、好きか嫌いかは別として、無理矢理男女のカップルを作っていきます。そうしていって、最終的にカップルになれず余った性別の方が数が多かったんだな、という比較の仕方をします。もちろん男女同数なら無事全員カップルになるわけですが。
この方法の上手いところは、実際に男性の数と女性の数を数える必要がないところ。数を数える必要がないため、無限集合に適用することができます。
そんなわけで、例として自然数の集合と偶数の集合の大小を比較してみましょう。
まず包含関係で考えますと、偶数は自然数の部分集合ですので、自然数の方が大きな集合といえます。
一方、ある自然数nに対して偶数2nをカップリングしていきますと、どちらかが先に尽きるということはなく、ちょうど同数でカップリングできてしまいます。nの数だけ2nが存在する。ということは、自然数と偶数は同じ濃度をもっていると結論できます。
「包含関係だと大小が決まるのに、濃度だと同じ、っていうのは矛盾してない？」
と思ってしまうところですが、比較する物差しが違うだけですので矛盾ではありません。身長が高いからといって、必ずしも体重まで重いわけではないのと一緒ですね。
こうして「濃度」という無限集合に対する物差しを手にすることができましたので、次回はいろんな無限集合の濃度を調べ、ラッセルのパラドックスを引き起こし、直観主義者が批判した無限や、ヒルベルトが解決しようとした無限に関する不具合の回避方法を見てみましょう。
