鯖の缶詰

　鯖の缶詰のように中身が安い缶詰は、容器の金属の量をなるべく節約しなくてはならない。

　そこで、缶詰の金属が最も少なく、かつ容積を最大にするにはどうしたらよいか？という問題が生じてくる。

　答えは、缶詰の直径と高さが同じときが、最も容積が大きい。つまり缶詰を真横から見ると、ちょうど正方形になるという美しい法則が現れてくる。（鯖以外でも安い缶詰はみな同じ恰好をしている）。　

　証明は簡単である。

　［証明］

　缶の半径をｒ、高さをｈ、容積を１０００、表面積をＳとする。

　　　　１０００＝π（ｒの２乗）ｈ・・・・（１）

である。また・・・

　　　　Ｓ＝２π（ｒの２乗）＋２πｒｈ・・・（２）

である。容積が１０００でＳが最小となるようなケースを求めるのがこの問題である。

（１）より・・・

　　　　ｈ＝１０００／π（ｒの２乗）・・・・（３）

　これを（２）に代入すると・・・

　　　　Ｓ＝２π（ｒの２乗）＋２０００／ｒ　　ただしｒ＞０

　この式の増減を調べるためにＳで微分すると・・・

　　　　ｄＳ／ｄｒ＝４πｒ－２０００／（ｒの２乗）＝｛４π／（ｒの２乗）｝×（ｒの３乗－２０００／π）

となって、ｄＳ／ｄｒ＝０（つまりＳが最小）となるのはｒ＝１０／｛２πの（１／３）乗}
のときに限る。

　ところで（３）を変形させると、ｈ＝｛１０００／π（ｒの３乗）｝×ｒ＝２０／｛２πの（１／３）乗}であるから、２ｒ＝ｈである。

　証明終わり

　ちなみに缶詰の形を円筒にこだわらなければ、表面積が最小で最大の容積をもつ形状は「球」である。こちらのほうは格段に証明が難しいと思う。