・前書き
ドップラー効果を表す一般式は次の形をしています。
f1=f0＊(1-Vr＊cos(Θ1))/(1-Vs＊cos(Θ2))＊sqrt(1-Vs^2)/sqrt(1-Vr^2) ・・・（１）式（注１）
さてこの式をみますれば
Vr＝０、Vs≠０で通説の式（＝光源が相対速度Vsで動く場合の式）
ν’＝ν＊sqrt(1-V^2)/(1-V*Cos(Θ1)) ・・・（２）式に
そうしてまた
Vr≠０、Vs＝０でアインシュタインの式（＝観測者が相対速度Vrで動く場合の式）
ν’＝ν＊(1-V*Cos(Θ2))/sqrt(1-V^2) ・・・（３）式になるのでした。
そうしてこの２つの式（（２）式と（３）式）はΘ1=π、Θ2=0では光源と観測者が近づく方向に動く場合であって、その場合はこの２つの式は縦ドップラーを表すのでした。
くわえてその時にはこの２つの式は最終的には同じ一つの式
ν’=ν＊sqrt(1+V)/sqrt(1-V) ・・・（４）式
となる事は「その２－５」で確認した事でもあります。
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さてそれで次にはVr≠０、Vs≠０の場合、つまりは「光源と観測者の両方が動く場合」を確認しました。
ただしここで相対速度Ｖについては
Ｖ＝(b+a)/(1+b*a)
が成立しているものとします。
さらにΘ1=π、Θ2=0の場合を考えます。
つまり「光源と観測者がお互いに近づく方向」です。
そうすると（１）式は
f1=f0＊(1-Vr＊cos(Θ1))/(1-Vs＊cos(Θ2))＊sqrt(1-Vs^2)/sqrt(1-Vr^2)
=f0＊(1+a)/(1-b)＊sqrt(1-b^2)/sqrt(1-a^2)
=f0＊sqrt(1+a)/sqrt(1-b)＊sqrt(1+b)/sqrt(1-a)
となります。
それを整理していきますと最終的には
sqrt(1+a)/sqrt(1-b)＊sqrt(1+b)/sqrt(1-a)＝sqrt(1+V)/sqrt(1-V)
となります。
さてこれもまた光源と観測者がお互いに近づく場合の縦ドップラーの式、（４）式そのもになっているのでした。
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・本論
１、さてそれで今回もVr≠０、Vs≠０の場合、つまりは「光源と観測者の両方が動く場合」です。
但し今回はVr=Vs の場合を確認して見ます。
それでここではVr=a、Vs=bと置き換えて、従って相対速度Ｖについては
Ｖ＝(b+a)/(1+b*a)
が成立しているものとします。
さらにΘ1=π、Θ2=0の場合を考えます。
つまり「光源と観測者がお互いに近づく方向」です。
そうすると（１）式は
f1=f0＊(1-Vr＊cos(Θ1))/(1-Vs＊cos(Θ2))＊sqrt(1-Vs^2)/sqrt(1-Vr^2)
=f0＊(1+a)/(1-b)＊sqrt(1-b^2)/sqrt(1-a^2)
となります。
ここでa=bの時を考えます。
この時は（１）式の時間遅れを表す項sqrt(1-Vs^2)/sqrt(1-Vr^2)は
sqrt(1-Vs^2)/sqrt(1-Vr^2)
=sqrt(1-a^2)/sqrt(1-a^2)
=1
となります。
つまりは「光源と観測者の時間遅れの状況が同じ」である為に「相対論的な時間遅れの影響がなくなる」のです。
さてそれで次は残りの項(1+a)/(1-b)について考えます。a=bより
(1+a)/(1-b)
＝(1+a)/(1-a) ・・・（５）式
です。それで相対論的な速度の加算式より相対速度Ｖは
Ｖ＝(b+a)/(1+b*a)
＝2a/(1+a^2)
となっています。
これをaについて解きます。
Ｖ*(1+a^2)＝2a
V+V*a^2-2a=0
２次方程式の根ですから解は
a=(1-sqrt(1-V^2))/V と a=(1+sqrt(1-V^2))/V の２つです。
但しここで 1>a≧0 、1>V≧0 の縛りがあります。
a=(1-sqrt(1-V^2))/V の挙動を調べます。
ウルフラムを呼んで
https://ja.wolframalpha.com/input?i=%281-sqrt%281-V%5E2%29%29%2FV
表示されているグラフより
1>V≧0 の時に 1>a≧0 である事が分かります。
他方で
a=(1+sqrt(1-V^2))/V の場合は
https://ja.wolframalpha.com/input?i=%281%2Bsqrt%281-V%5E2%29%29%2FV
となり、
1>V≧0 の時に a≧1 である事が分かります。
そうであれば a=(1+sqrt(1-V^2))/V は解としては却下されます。
こうしてaの解は
a=(1-sqrt(1-V^2))/V
を選ぶことになります。
さてそれでこの解を（５）式に代入します。
(1+a)/(1-a)
=(1+(1-sqrt(1-V^2))/V)/(1-(1-sqrt(1-V^2))/V)
ウルフラムを呼んで
「別の形」の最初に答えが出ています。これを整理します。
(1+V)/sqrt(1-V^2)
＝sqrt(1+V)＊sqrt(1+V)/(sqrt(1-V)＊sqrt(1+V))
=sqrt(1+V)/sqrt(1-V)
はい、これは光源と観測者が相対速度Ｖで近づく場合の縦ドップラーの式になっています。
まあこの結果は実はすでに「その２－１１」で一般的な解として求められていたものでした。
それをここでもう一度再確認した理由は「Vr=Vs」の時には上記で示した様にドップラー効果を表す一般式である（１）式の中で「相対論的な時間遅れを示す項の影響がなくなる」からです。
にもかかわらず続けてその時の状況を調べてみますと「光源と観測者が相対速度Ｖで近づく場合の縦ドップラーの式がそれまでと同じ様に出てくる」のです。
さてこれはとても奇妙な事、あるいは巧妙な事であります。
そうしてそのカラクリはどうやら「相対論的な速度の加法則にある」様です。
つまりは（１）式で表されているドップラー効果を表す一般式は見かけ上は
古典的なドップラー効果を表す項＊相対論的な時間遅れを表す項
という２つの項の積になっています。
しかしながらそこには「その２つの項で使われている固有速度VrとVsによって相対論的な速度の加法則から相対速度Ｖが計算される」という情報が隠れているのです。
そうしてその縛りがあるために「Vr=Vs」の時には上記で示した様にドップラー効果を表す一般式である（１）式で「相対論的な時間遅れの項の影響がなくなる」のにもかかわらず相変わらず同じ縦ドップラーの式が出てくるのです。
さてそうしますと（１）式で表されているドップラー効果を表す一般式は実は
・古典的なドップラー効果を表す項
・相対論的な時間遅れを表す項
・相対論的な速度の加法則
という３つのルールから成り立っている事になります。（注２）
そうして注意すべきことはこの時に
・相対論的な時間遅れを表す項
・相対論的な速度の加法則
の２つはローレンツ変換からの帰結として出てきているという事であります。
それゆえに「どこに客観的に存在する静止系があった」としても、その事に無関係に「光源と観測者との間の相対速度Ｖで縦ドップラーの値は計算できる」という事になっている様におもわれます。
注１：ドップラー効果を表す一般式
f1=f0＊(1-Vr＊cos(Θ1))/(1-Vs＊cos(Θ2))＊sqrt(1-Vs^2)/sqrt(1-Vr^2) ・・・（１）式
ここでVrは静止系に対する観測者の相対速度（＝固有速度）、Vsは静止系に対する光源の相対速度（＝固有速度）を示します。
但しVr、Vsの方向はお互いが近づく方向をプラスに取ります。
f1は観測される周波数、f0は光源の周波数です。
角度についてはこれまでと同様の取り方になります。
Θ1=π、Θ2=0がお互いが近づく方向、Θ1=0、Θ2=πがお互いが離れる方向です。
但しこの時 Θ2=abs(Θ1-π) の関係が成立しています。それで
(1-Vr＊cos(Θ1))/(1-Vs＊cos(Θ2)) の項が古典的なドップラー効果を表す部分で
sqrt(1-Vs^2)/sqrt(1-Vr^2) の項が相対論的な効果（＝時間遅れの効果）を表します。
注２：「・古典的なドップラー効果を表す項」というのは具体的には「音のドップラー係数を算出する式」です。
そうであれば「この奇妙な音と光の関係」に最初は戸惑うのです。
しかしながらそこには「・相対論的な速度の加法則」が陰に隠れているので、表面上は「音のドップラー係数を算出する式」の形をしていますが「これは別物」なのです。
そうしてそのあたりのことは次のページで検討する事と致します。