サマーコム・カニッタサー試験

先ずはお知らせから。
１１月３０日（金）から１２月９日（日）までセントラルプラザウドンタニの４階ホールでウドンタニ ブックフェスティバルが開催される。



毎年娘が楽しみにしており、今年も連れて行く予定。娘はキャラクター商品、私は子供向けの英語の古本狙い。

さて、本文。
２５日の日曜はサマーコム・カニッタサー試験。私が住むウドンタニから一番近い会場はコンケンで、前泊して受験に備える生徒も居るが、我が家は早朝５時起きで６時に出発してコンケンへ向かった。
娘は車へ枕と掛け布団を持ち込んで後部座席で熟睡していたので、制限速度より少し控えめの安全運転。７時過ぎにコンケン手前のガソリンスタンドへ入って朝食。ちょうど８時頃に試験会場へ到着。
妻と娘を降ろして、私は公園の駐車場で日陰を確保し、ＹＯＵＴＵＢＥで動画を見ながらウトウトｗ。娘はすぐに試験会場の教室へ向かったそうで、妻は顔見知りのご父兄を見つけて受験談義が定番。
今年は一緒に座ったのがＵＰ校の１年生で成績トップな生徒のご両親。そして妻の隣に来て座られたのが、ＵＰ校３年生のトップグループの一人のお父さん。このお父さんは既に子供二人をタイの最高峰マヒドン高校へ入れられており、今年は３人目をチャレンジ中。そして進学塾を経営されており、ウドンタニでマヒドン高校を狙える塾の最右翼とも言われている。
この大変濃いご父兄達の間に座った妻は耳を大きく広げ、一言も聞き漏らさない様に情報収集。数学の試験だったので、話題は数学の学習法が中心だったそうだが、皆さんが悩んでおられたのが、パラボラ（放物線）の学習。タイの中学生向けの数学問題集を見ると判るが、タイの中学生は簡単なパラボラしか学校で習わず、塾や参考書でも深く詳しく解説するのは少ない。娘へ学ばせようと買った日本の中学数学の参考書を見た息子が、こんな難しいパラボラの問題は大学受験にも出ないと言ったくらいだ。
しかしながらマヒドン高校の受験には出るそうで、マヒドン対策を謳った問題集にもあるが、そういう問題を上手く教える先生がウドンタニでは見つからないので、どうするかって話が中心だったそうだ。
日本の問題をやる試験（数検？）へ行かせたが、さっぱりだったと塾もやられるお父さんが仰ったそうで、自分の子供はバンコクの塾へ行かしておられるが、それでも足りないので、お金を出し合ってパラボラが得意な先生をウドンタニへ呼ぶ話まで出たそうだ。
昨年も有名高校の入試対策に何人かが集まってバンコクの先生を呼んで教えて貰った話が耳に入っており、しっかりアンテナを上げておかないと気が付かないかも？そうやって差が広がるので、気を付けたいと思った。

もう一つお知らせ。
受験談義の話題にもなった「数検」だが、来年１月６日にタイでも試験があり、１２月２５日まで申し込みを受付中。タイ国内で１０ヶ所以上の会場が有り、イサーンでもコンケン・ウボン・ナコンパノムで受験可能。



タイの数検のページは上の画像からリンクしているので、クリック↑。



それでは、先週末に出題した数学の問題の解答をやろう。

問　四角形ＬＭＮＡの面積を求めなさい。



先ずは問題集の模範解答。



タイ語が読めない（数学も苦手ｗ）ので、先週末に出題した時点でさっぱり意味が分からなかったのだが、１つ１つ数式を追ってようやく理解した。



⊿ＢＭＣ＝１０ｃ㎡（タイ語の原文はタランヌアイ＝平方ヌアイ（単位）。ややこしいので以下ｃ㎡で行く）
辺ＭＣの真ん中を点Ｏとし、　ＢＯへ線を引く。
⊿ＢＭＯ＝⊿ＢＯＣ＝５ｃ㎡
⊿ＢＬＭ＝５ｃ㎡なので
ＬＭ＝ＭＯ＝ＯＣ

⊿ＭＮＣ＝８ｃ㎡
ＭＯ＝ＯＣであり、ＯＮへ線を引く。
⊿ＭＮＯ＝⊿ＯＮＣ＝４ｃ㎡
⊿ＭＬＮ＝４

何度も書くが私はタイ語が読めないので、上は数式から想像して書いてある。
　
この部分をメンカーム式に書くと・・・



⊿ＢＬＭと⊿ＢＭＣは高さが等しい三角形で、２つの三角形の面積比は底辺の長さの比に等しいので、
⊿ＢＬＭ：⊿ＢＭＣ＝５：１０＝ＬＭ：ＭＣ＝２：１

⊿ＭＬＮと⊿ＮＭＣも高さが等しい三角形で、２つの三角形の面積比は底辺の長さの比に等しいので、
ＬＭ：ＭＣ＝２：１＝⊿ＭＬＮ：⊿ＮＭＣ＝４：８
⊿ＭＬＮ＝４ｃ㎡

⊿ＬＡＮ＝ｘｃ㎡　とすると



⊿ＬＡＮ／⊿ＬＮＣ＝ｘ／（４＋８）＝ｘ／１２＝ＡＮ／ＮＣ　---①



⊿ＡＢＬ／⊿ＮＢＣ＝（５＋４＋ｘ）／（１０＋８）＝（９＋ｘ）／１８＝ＡＮ／ＮＣ　---②

①＝②なので
ｘ／１２＝（９＋ｘ）／１８
１８ｘ＝１２（９＋ｘ）
１８ｘ＝１０８＋１２ｘ
６ｘ＝１０８
ｘ＝１８
⊿ＬＡＮ＝１８ｃ㎡

∴　四角形ＬＭＮＡ＝⊿ＬＡＮ＋⊿ＭＬＮ＝１８＋４＝２２ｃ㎡


JIMMYさんから頂いた解答

以前、うちの数学の教授は数学を解くには、すぐアキラめることだと言ってましたね。
要するに解こう解こうと迷路に入り込んでしまうからダメで、諦めて入口に戻ったほうが早いという事でしょう。

ＡＭの間に線を引いて、三角形ＡＭＮの面積をｘ、三角形ＡＬＭの面積をｙとします。四角形ＬＭＮＡの面積は（ｘ+ｙ）です。



この三角形ＡＢＣをまず左に回します。
三角形ＡＬＣの面積は（8+ｘ+ｙ）、三角形ＢＬＣの面積は（5+10）です。
三角形の面積は底辺×高さ÷2ですが、三角形ＡＬＣと三角形ＢＬＣは高さが同じで底辺だけが違います。（8+ｘ+ｙ）：（5+10）＝ＡＬ：ＢＬです。
次に小さい方の三角形ＡＬＭの面積ｙ：三角形ＢＬＭの面積5も高さが同じなのでｙ：5＝ＡＬ：ＢＬ。つまり（8+ｘ+ｙ）：（5+10）＝ｙ：5です。

次に三角形ＡＢＣをまず右に回します。
三角形ＡＮＢの面積は（5+ｘ+ｙ）、三角形ＣＮＢの面積は（8+10）です。
（5+ｘ+ｙ）：（8+10）＝ＡＮ：ＮＣ
三角形ＡＭＮの面積は（ｘ）、三角形ＮＭＣの面積は（8）です。
ｘ：8＝ＡＮ：ＮＣ＝（5+ｘ+ｙ）：（8+10）

これで連立方程式
5×（8+ｘ+ｙ）＝15ｙ　と
8×（5+ｘ+ｙ）＝18ｘ　が出来ます。
これを解くとｘ＝12、ｙ＝10、ですので
これを解くと、四角形ＬＭＮＡの面積は（ｘ+ｙ）＝22㎤です。

メンカームのコメント。
先ずは、いつも解答を下さるJIMMYさんへ感謝！
「数学を解くには、すぐアキラめることだ」
娘が解くのを黙って見ていると、１問を解くのに時には１時間も掛けて頑張ったり。
それでも解ければ良いが、多くの場合は深みに嵌って解けない・・・ｗ。
最近はキッチンタイマーを使って５分で制限しようとするが、嫌がっている様子。
解法の引き出しがまだ少ないので、解けなければ解答を見せるしかないのが現状ｗ。
娘がもう少し経験を積めば、深みに嵌まるのに気が付くだろうと期待するが・・。


最後に私、メンカームの解答



点Ａと点Ｍを直線で結び、⊿ＡＬＭ＝ｘ　⊿ＡＭＮ＝ｙ　とする。

高さが等しい２つの三角形の面積比は底辺の長さの比に等しいので、
⊿ＭＮＡ：⊿ＭＣＮ＝ＡＮ：ＮＣ
ｙ：８＝ＡＮ：ＮＣ
⊿ＢＭＡ：⊿ＢＣＭ＝ＡＮ：ＮＣ
（５＋ｘ）：１０＝ＡＮ：ＮＣ
ｙ：８＝（５＋ｘ）：１０＝ＡＮ：ＮＣ
１０ｙ＝８（５＋ｘ）　　　　　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄの時、ＡＤ＝ＢＣ
１０ｙ＝４０＋８ｘ　---①

同様に・・
⊿ＭＡＬ：⊿ＭＬＢ＝ＡＬ：ＬＢ
ｘ：５＝ＡＬ：ＬＢ
⊿ＣＡＭ：⊿ＣＭＢ＝ＡＬ：ＬＢ
（ｙ＋８）：１０＝ＡＬ：ＬＢ
ｘ：５＝（ｙ＋８）：１０＝ＡＬ：ＬＢ
１０ｘ＝５（ｙ＋８）
１０ｘ＝５ｙ＋４０
５ｙ＝１０ｘ－４０
１０ｙ＝２０ｘ－８０　---②

①＝②
４０＋８ｘ＝２０ｘ－８０
１２ｘ＝１２０
ｘ＝１０

①より
１０ｙ＝４０＋８・１０
１０ｙ＝１２０
ｙ＝１２

四角形ＬＭＮＡ＝ｘ＋ｙ＝１０＋１２＝２２

答え　２２ｃ㎡


それでは今週の１問ｗ



ＡＥ／ＥＣ＝ＢＤ／ＤＡ＝１／２
ＣＤ//ＥＦ

□ＥＦＤＧ／⊿ＡＢＣ　を求めなさい。


タイの中学生向け数学ギフテッド問題の記事へのリンク→#高１入試ギフ

タイの高校生向け数学入試問題の記事へのリンク→#大学入試


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これで良いのか？日本のテレビ報道！！

各局、ゴ－ン容疑者の件は巨大パネルを使って詳しく解説しているけど

関西生コンも「１００億円」に及ぶ恐喝事件で
幹部、組合員ら２３人逮捕、１２人起訴という
とんでもない事件なのだけどねぇ... オマケに政治家絡み

これが全く報道されないのがテレビの現状 (-д-；)

— toshichan25 (@ktn1983) 2018年11月22日

関西生コンがどのような団体かご存知ない方はこちらへ。

組合員数三千名弱の労組なのに「１００億円」って、どうやって集めて、何に使うの？

何度も捜索されたり、逮捕されているのに、そこから資金提供されている政治家はどうなってんの？

集めた金は違法行為をする活動家へも流れているんじゃね？

マスコミは何故報道しない？「報道しない自由」ってやつか？

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大学受験レベルの数学を中学生の力で解いてみる！

先週末は某私立大医学部の入試を息子が受験。電話で「どうだった」と尋ねると、「女の子は綺麗だし・・・」なんて言い出す息子。
「てめぇ何しに大学へ行ったんだ！」ヽ(`Д´)ﾉﾌﾟﾝﾌﾟﾝ　と言うと真面目な話を始めたが、英語と数学は高校の定期試験レベルでも、生物と化学は『糞』難しかったそうだ。
息子の話では、その大学医学部専門に対策する塾があるそうで、やはりそういうところで勉強しないと難しいかも。
持ち出し厳禁な入試問題を試験の立ち会いをされる先生がスマホで撮影していたそうで、そうやって塾では入試対策をするのだろう。
火曜には合格発表があったが、当然息子の名前は無しｗ。私が見ていても、とてもそんなレベルではない。

さて、先週末の記事で出題した数学の問題の解答をしよう。

問　∠Ａの角度を求めなさい。



問題集の模範解答



２つの辺の長さと １つの内角の大きさが分かっていれば、もう 1 つの辺の長さが決まるという第二余弦定理を利用してｃｏｓＡ＝－（√３－１）／（２√２）を求め　Ａ＝１０５°と答えているのだが、関数電卓も三角関数表も使わずに　ｃｏｓＡ＝－（√３－１）／（２√２）　から　Ａ＝１０５°をどうやって求めるかと言うのが息子から私への質問だった。

三角定規の角度である３０°・４５°・６０°の三角関数の値を知っているのは教科書レベルで中学生以上なら常識だが、それ以外はどうするか？教科書レベルでも苦しい私に分かる訳も無く、別の方法で解いたのだが、taiyaiさんが三角関数の加法定理を教えて下さったので紹介しよう。

三角関数の加法定理　ｓｉｎ

ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎＡ・ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＡ・ｓｉｎＢ
ｓｉｎ（Ａ－Ｂ）＝ｓｉｎＡ・ｃｏｓＢ－ｃｏｓＡ・ｓｉｎＢ

ｓｉｎ１５°＝ｓｉｎ（４５°－３０°）＝ｓｉｎ４５°・ｃｏｓ３０°－ｃｏｓ４５°・ｓｉｎ３０°
　　　　　　＝（１／√２）（√３／２）－（１／√２）（１／２）＝（√３／２√２）－（１／２√２）
　　　　　　＝（√３－１）／（２√２）＝（√６－√２）／４

ｓｉｎ７５°＝ｓｉｎ（３０°＋４５°）＝ｓｉｎ３０°・ｃｏｓ４５°＋ｃｏｓ３０°・ｓｉｎ４５°
　　　　　　＝（１／２）（１／√２）＋（√３／２）（１／√２）＝（１／２√２）＋（√３／２√２）
　　　　　　＝（√３＋１）／（２√２）＝（√６＋√２）／４

ｓｉｎ１０５°＝ｓｉｎ（６０°＋４５°）＝ｓｉｎ６０°・ｃｏｓ４５°＋ｃｏｓ６０°・ｓｉｎ４５°
　　　　　　　＝（√３／２）（１／√２）＋（１／２）（１／√２）＝（√３／２√２）＋（１／２√２）＝ｓｉｎ７５°

ｓｉｎ１０５°＝ｓｉｎ７５°に気が付いて調べると補角公式というそうだ。（全く覚えてないが、高さは一緒だからだなｗ）

ｓｉｎ１０５°＝ｓｉｎ（１８０°－７５°）＝ｓｉｎ７５°

ｓｉｎ１２０°＝ｓｉｎ（１８０°－６０°）＝ｓｉｎ６０°

ｓｉｎ１３５°＝ｓｉｎ（１８０°－４５°）＝ｓｉｎ４５°

ｓｉｎ１５０°＝ｓｉｎ（１８０°－３０°）＝ｓｉｎ３０°

三角関数の加法定理　ｃｏｓ

ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）＝ｃｏｓＡ・ｃｏｓＢ－ｓｉｎＡ・ｓｉｎＢ
ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）＝ｃｏｓＡ・ｃｏｓＢ＋ｓｉｎＡ・ｓｉｎＢ

ｃｏｓ１５°＝ｃｏｓ（４５°－３０°）＝ｃｏｓ４５°・ｃｏｓ３０°＋ｓｉｎ４５°・ｓｉｎ３０°
　　　　　　＝（１／√２）（√３／２）＋（１／√２）（１／２）＝（√３／２√２）＋（１／２√２）
　　　　　　＝（√３＋１）／（２√２）＝（√６＋√２）／４

ｃｏｓ７５°＝ｃｏｓ（４５°＋３０°）＝ｃｏｓ４５°・ｃｏｓ３０°－ｓｉｎ４５°・ｓｉｎ３０°
　　　　　　＝（１／√２）（√３／２）－（１／√２）（１／２）＝（√３／２√２）－（１／２√２）
　　　　　　＝（√３－１）／（２√２）＝（√６－√２）／４

これも補角公式があるそうで・・

ｃｏｓ１０５°＝ｃｏｓ（１８０°－７５°）＝－ｃｏｓ７５°

ｃｏｓ１２０°＝ｃｏｓ（１８０°－６０°）＝－ｃｏｓ６０°

ｃｏｓ１３５°＝ｃｏｓ（１８０°－４５°）＝－ｃｏｓ４５°

ｃｏｓ１５０°＝ｃｏｓ（１８０°－３０°）＝－ｃｏｓ３０°

マイナスが付くのは底辺が逆向きだからかな？ｗ

補角公式や加法定理は「ウィキペディアの三角関数」のページ、大学受験対策の三角関数については「高校数学の基本問題の三角関数の加法定理，倍角公式，３倍角公式，半角公式」のページを参考にして欲しい。

息子の数学のレベルが低い話を妻としていると、高校数学の塾へ通っている娘曰く『「１５°と７５°の２つだから三角関数の値は暗記しろ」って塾の先生が言ってたよ」だそうだ。それと補角公式で足りるってことだ。

息子へ電話して「おめぇは今まで何を勉強してんだ！全然足りねぇじゃねぇか！！！」と叱る私。親が足りないから子が足りなのだが、悔しいったらありゃしない。（大恥ｗ）


私、メンカームの別解答
上の方法で解けなくてやった別の解法。ｃｏｓＡの値に見覚えが無いのでｃｏｓＢの値から角度を調べようとした。

ｂ²＝ａ²＋ｃ²－２ａｃ・ｃｏｓＢ
（２√３）²＝（３＋√３）²＋（√６）²－２（３＋√３）・√６・ｃｏｓＢ
２（３＋√３）・√６・ｃｏｓＢ＝（３＋√３）²＋（√６）²－（２√３）²
２√６（３＋√３）・ｃｏｓＢ＝９＋３＋６√３＋６－１２
ｃｏｓＢ＝（６√３＋６）／（２√６（３＋√３））＝（６（１＋√３））／（２・√６・√３（１＋√３））
　　　　＝６／（２・√２・√３・√３）＝１／√２
点Ａから辺ＢＣの垂線を引き、辺ＢＣとの交点をＤとする。

ＢＤ＝ＡＢ・ｃｏｓＢ＝√６×（１／√２）＝√３
ＤＣ＝ＢＣ－ＢＤ＝３＋√３－√３＝３
ｃｏｓＢ＝１／√２　より　∠Ｂ＝４５°
ＡＤ＝ＡＢ・ｓｉｎＢ＝ＡＢ・ｓｉｎ４５°＝√６×（１／√２）＝√３



ｃｏｓ∠ＢＡＤ＝ＡＤ／ＡＢ＝√３／√６＝１／√２
∠ＢＡＤ＝４５°

ｃｏｓ∠ＣＡＤ＝ＡＤ／ＡＣ＝√３／（２√３）＝１／２
∠ＣＡＤ＝６０°

∠Ａ＝∠ＢＡＤ＋∠ＣＡＤ＝４５°＋６０°＝１０５°



答え　∠Ａ＝１０５°


JIMMYさんから頂いた解答

大学入試という事なので、じっくり解法ではなく、高速解法でやってみます。所要時間1分。

AからBCに垂線を下ろし交点をDとします。三平方の定理で
三角形ABDはBD^2+AD^2=AB^2=6、三角形ADCはCD^2+AD^2=AC^2=12
※BCは3+√3ですが、BD=√3、DC=3のようですね。

そうなるとAD=√3だから
三角形ABDは直角二等辺三角形なので∠BAD=45°
三角形ADCは正三角形を半分にした形なので∠CAD=60°
∠BAC=45+60=105°です。

※は瞬間的に閃くと解くのが速くなります。




メンカームのコメント
先ずはいつも協力して下さるJIMMYさんへ感謝！m(_ _)m
ピタゴラスの定理を利用して解いてあり、この方法なら中学生でも解ける。
私がもう少し細かく解説しよう。



ＢＤ＝ｘ、ＡＤ＝ｈ　とする。
三角形ＡＢＤについてピタゴラスの定理の式を作ると
ＡＢ²＝ＢＤ²＋ＡＤ²
（√６）²＝ｘ²＋ｈ²　---①

三角形ＡＣＤについてピタゴラスの定理の式を作ると
ＡＣ²＝ＣＤ²＋ＡＤ²
（２√３）²＝（３＋√３－ｘ）²＋ｈ²
１２ ＝ ９＋３＋ｘ²＋６√３－２√３ｘ－６ｘ＋ｈ²
ｘ²＋ｈ²＋６√３－２√３ｘ－６ｘ＝０
①よりｘ²＋ｈ²＝（√６）²なので
（√６）²＋６√３－２√３ｘ－６ｘ＝０
（６＋２√３）ｘ＝６＋６√３
ｘ＝（６＋６√３）／（６＋２√３）＝（６（１＋√３））／（２√３（１＋√３））＝３／√３＝√３

①より
（√６）²＝ｘ²＋ｈ²
６＝３＋ｈ²
ｈ²＝３
ｈ＝√３

ＤＣ＝ＢＣ－ＢＤ＝３＋√３－√３＝３



三角形ＡＢＤの辺の長さの比は　ＡＤ：ＢＤ：ＡＢ＝√３：√３：√６＝１：１：√２　なので、
三角形ＡＢＤは、直角二等辺三角形の三角定規（４５°４５°９０°の角をもつ）と相似。
よって∠ＢＡＤ＝４５°

三角形ＡＣＤの辺の長さの比は　ＡＤ：ＡＣ：ＣＤ＝√３：２√３：３＝１：２：√３　なので、
三角形ＡＣＤは、正三角形を半分にした直角三角形の三角定規（３０°６０°９０°の角をもつ）と相似。
よって∠ＣＡＤ＝６０°



∠Ａ＝∠ＢＡＤ＋∠ＣＡＤ＝４５°＋６０°＝１０５°

答え　∠Ａ＝１０５°

大学入試対策問題集からの設問だが、中学生が知っているピタゴラスの定理で解けた。＼(^o^)／

もう数学はエエよと否定的な声が聞こえそうだが、中学生向けのサマーコムカニッタサー問題集より今週の１問。（シリーズ化か？ｗ）
問題集の模範解答を見ても意味が分からなかった問題。私は別の方法で解いた。

問　四角形ＬＭＮＡの面積を求めなさい。（誤記修正しました。m(_ _)m）



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幸せな二人を見て、揉める二人。

日曜は妻の農園を手伝ってくれているノイおばさんの娘の結婚式。ちょうど稲刈りの時期で手伝いが少ないから早めに来て助けてくれないかと頼まれて、妻は朝の７時頃から出掛けたが、ノイおばさんから頼まれたのは鞄へ入った結納金の監視。鞄を持ち歩くノイおばさんの後を付いて歩いたそうだ。

結婚式の会場はノイおばさんの自宅で、左の写真の上に見えるのは高床式住居の床ｗ。床下だけではスペースが足りないので、テントも張って会場にしたそうだが、朝から始めても日差しが強くてテントの下へ居ると汗びっしょりｗ。ノイおばさんの娘はバンコク近郊にある日系企業の工場勤務で、新郎はスリン出身で同じ職場らしい。結納は１４万バーツ（約５０万円）だそうで、式場で数えて見せびらかすのがここらの風習ｗ。夫婦で苦労して集めたお金だそうで、ノイおばさんは後から返すそうだ。

ノイおばさんの甥と妻の姪が事実婚で一緒に暮らしており、ノイおばさんの甥は２５歳だが姪は３３歳の姉さん女房。
この二人が結婚式で揉めていたので妻が様子を見に行くと・・

妻の姪「私も結婚したいな」

ノイおばさんの甥「お金が無いから、宝くじでも当たったらね」

妻の姪「宝くじなんて一回も買った事も無いくせに、何を言ってんのよ！（怒）」

・・・って感じだったそうだ。

こんなに気が強い女と結婚するのは考えるわなあと思いながら妻の顔を見る私。
後悔先に立たずって奴だｗ。

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２０２０年にウドンタニへ大手インター校が開校するらしい

ＦＡＣＥＢＯＯＫのローカルニュースページ「Ｕｄｏｎｔｈａｎｉ　ｓｋｙｌｉｎｅ」で知ったのだが、２０２０年にウドンタニへ大手インター校が開校するらしい。
今までもウドンタニへインター校と称する学校はいくつか有っても、インター校と言いながら児童はタイ語しか話せなかったり、運営の実態が不明確だったりで、私は何となく不安を感じて見ていたのだが、ようやくある程度の規模のインター校が開校する様だ。

ウドンタニは国際結婚カップルが多い街で、娘が通ったキリスト教系の小学校ではクラスに数人は片親が外国人の児童だったが、自宅で父親の母語を話しているからか、それともタイの教育環境に慣れないのか、残念だがウドンタニでは「西洋人の子供は勉強ができない」と言われたりもする。
西洋式の充実した教育が行われば、そういう残念な評判は消えるだろう。

２０２０年にウドンタニへ開校を予定しているのは　International Community School (ICS) で、バンコク校は１９９３年に開校し、約千人の児童・生徒が在籍しているそうだ。ウドンタニキャンパスのＷＥＢページはこちら。ビデオも貼っておこう。




それでは前回の記事で出題した中学校で教えない因数分解の解答。

問１　①～⑤を因数分解しなさい。

①　（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）＋１

JIMMYさんから頂いた解答

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=x^4+10x^3+35x^2+50x+25

(x^2+〇+〇)でくくってみます。最後が25なので(x^2+〇+5)が見えてきます。
あとは〇に入るｘを探せば(x^2+5x+5)になります。
x^4+10x^3+35x^2+50x+25を(x^2+5x+5)で割ったら、(x^2+5x+5)になりましたので(x^2+5x+5)^2となりました。
これ以上の分解では(x-(-5+√5)/2)^2*(x-(-5-√5)/2)^2ですが、そこまで分解しなくてもいいかと思います。
メンカームのコメント
◯＝５は、後から見ればそうだなと思うのですが、自分で解く時に状況を調べて推理していく力が私には足りません。数学のセンスを付けなければなりません。

私、Ｍｅｎｋａｒｍの解答

最初に学校で教えられた通りに解いてみよう。
　（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）＋１
＝（ｘ²＋３ｘ＋２）（ｘ²＋７ｘ＋１２）＋１
＝ｘ⁴＋　７ｘ³＋１２ｘ²
　　 ＋　３ｘ³＋２１ｘ²＋３６ｘ
　　　　　　　＋　２ｘ²＋１４ｘ＋２４＋１
＝ｘ⁴＋１０ｘ³＋３５ｘ²＋５０ｘ＋２５
ここから因数分解したいが、上記の様にJIMMYさんは可能でも、私の能力ではこれ以上進めない。（恥ｗ）

「係数を揃えて置き換える」因数分解。
（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）の展開だが掛け合わせる順番を・・
（ｘ＋１）（ｘ＋４）（ｘ＋２）（ｘ＋３）と入れ替えると・・
　（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）＋１
＝（ｘ＋１）（ｘ＋４）（ｘ＋２）（ｘ＋３）＋１
＝（ｘ²＋５ｘ＋４）（ｘ²＋５ｘ＋６）＋１　と、ｘ²＋５ｘまでの係数が揃った。
ｘ²＋５ｘをＡと置き換えると
与式＝（Ａ＋４）（Ａ＋６）＋１
　　＝Ａ²＋１０Ａ＋２５
　　＝（Ａ＋５）²
Ａを元のｘ²＋５ｘに戻して
与式＝（ｘ²＋５ｘ＋５）²

答え （ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）＋１＝（ｘ²＋５ｘ＋５）²


②　ｘ⁴＋４

JIMMYさんから頂いた解答

x^4+4＝0とおくと、x^4＝-4、x^2＝2iなので(x^2-2i)(x^2+2i)となりますが、複素数の因数分解でもいいのかな。
メンカームのコメント
設問の引用元にも指定は無かったので、複素数（ｉ²＝－１）を使った因数分解でも良いでしょう。
私は中学生な娘向きに、複素数を使わない因数分解をやりました。

私、Ｍｅｎｋａｒｍの解答

中学校では４乗はやらないし、例え２乗でもこのパターンの因数分解は教えないだろう。
「ａ²－ｂ²を作る」因数分解
ｘ²をＡと置き換えると
ｘ⁴＋４＝Ａ²＋４
（Ａ＋２）²＝Ａ²＋４Ａ＋４なので
Ａ²＋４＝（Ａ＋２）²－４Ａ
Ａを元のｘ²に戻して
　（Ａ＋２）²－４Ａ
＝（ｘ²＋２）²－４ｘ²
＝（ｘ²＋２）²－（２ｘ）²
ａ²－ｂ²＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）なので
　（ｘ²＋２）²－（２ｘ）²
＝（ｘ²＋２＋２ｘ）（ｘ²＋２－２ｘ）
＝（ｘ²＋２ｘ＋２）（ｘ²－２ｘ＋２）

答え　ｘ⁴＋４＝（ｘ²＋２ｘ＋２）（ｘ²－２ｘ＋２）


③　（ｘ²－１）（ｙ²－１）－４ｘｙ

私、Ｍｅｎｋａｒｍの解答

たすき掛け（クロス法）は数だけでは無く、文字係数でも出来る。
「文字係数もたすき掛けする」因数分解
　（ｘ²－１）（ｙ²－１）－４ｘｙ
＝ｘ²ｙ²－ｘ²－ｙ²－４ｘｙ＋１
＝（ｙ²－１）ｘ²－４ｙｘ－（ｙ²－１）
＝（ｙ－１）（ｙ＋１）ｘ²－４ｙｘ－（ｙ－１）（ｙ＋１）
ここで文字係数の「たすき掛け（クロス法）」←たすき掛けをご存じない時はクリック。

ｙ－１　　　－（ｙ＋１）　　　－ｙ²－２ｙ－１
　　　　✕
ｙ＋１　　　　（ｙ－１）　　　　ｙ²－２ｙ＋１　　＋
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ４ｙ　　　　　　

与式＝（（ｙ－１）ｘ－（ｙ＋１））（（ｙ＋１）ｘ＋（ｙ－１））
＝（ｘｙ－ｘ－ｙ－１）（ｘｙ＋ｘ＋ｙ－１）

答え　（ｘ²－１）（ｙ²－１）－４ｘｙ＝（ｘｙ－ｘ－ｙ－１）（ｘｙ＋ｘ＋ｙ－１）


④　５ｘ²－５６ｘ－１５３６

JIMMYさんから頂いた解答

1536を素数に分解すると1536＝3×2×2×2×2×2×2×2×2×2
そこでクロス法を用いて(x-a)(5x+b)=0
5X^2＝5×1*X^2
-a×b＝-1536
とおいて5a+1b＝-56
となればいいので、aとbは3×2×2×2と2×2×2×2×2×2のどちらかだろうと見当を付けます。結果はa＝24,b＝64
5x^2－56x－1536＝(5x+64)(x-24)
メンカームのコメント
「aとbは3×2×2×2と2×2×2×2×2×2のどちらかだろうと見当を付け」られるのが羨ましい。私や娘はまだまだ経験不足です。

私、Ｍｅｎｋａｒｍの解答

たすき掛けで解けそうだが、適当な数が見つからない。こんな時は・・
「二次方程式の解の公式を使う」因数分解
仮に　５ｘ²－５６ｘ－１５３６＝０　として二次方程式の解の公式を利用してｘを求める。
二次方程式の解の公式より ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０の時のｘの値は、
ｘ＝（－ｂ±√ｂ²－４ａｃ）／（２ａ）なので、
ｘ＝（５６±√５６²－４・５・（－１５３６））／（２・５）
　＝（５６±√３１３６＋３０７２０）／１０
　＝（５６±√３３８５６）／１０
　＝（５６±√２⁶×２３²）／１０　１²～２５²まで要暗記。
　＝（５６±２³×２３）／１０
　＝（５６±１８４）／１０
　＝２４　，　－１２.８

ｘ＝２４は判るが、ｘ＝－１２.８へピンと来ない私は因数定理を利用した組立除法を使って求める。

２４｜　５　　－５６　　－１５３６
　　　　　　　１２０　　　１５３６
　　　　５　　　６４　　　　　　０

（ｘ－２４）（５ｘ＋６４）＝０

答え　５ｘ²－５６ｘ－１５３６＝（ｘ－２４）（５ｘ＋６４）

ＹＯＵＴＵＢＥへ簡単な因数分解の方法が有ったので貼っておく。



５ｘ²－５６ｘ－１５３６

５　　　５１２＝６４×８　　　　　６４　　　　６４
　　　　　　　　　　　↓
１　　　　　３　　　　８×－３＝－２４　　－１２０
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－５６　
これは簡単だ。


⑤　ａ³＋３ａ²ｂ＋ａ²ｃ＋２ａｂ²＋２ｂ²ｃ＋３ａｂｃ　（誤記修正しました。御指摘ありがとうございます。）

JIMMYさんから頂いた解答

（a+b）で割りますと、
(a+b)(a^2+2ab+ac+2bc)となるので、さらに因数分解して、
(a+b)(a+c)(a+2b)になりました。
メンカームのコメント
a+bで割れそうだなと、気が付かない私が悲しい。修行不足です。

私、Ｍｅｎｋａｒｍの解答

複雑で、どれを係数にするか悩んだ時は
「低い次数に着目した」因数分解

先ずは次数について。多項式の次数とは、その項が何乗であるか、または最高何乗の項を持つかを示す数を言う。
ａ³＋３ａ²ｂ＋ａ²ｃ＋２ａｂ²＋２ｂ²ｃ＋３ａｂｃは、ａについて言えば最高３乗の項を持つので次数は３。ｂについては最高２乗の項を持つので次数は２。ｃは最高１乗の項なので次数は１となる。

与式を次数が３のａで整理すると
　ａ³＋３ａ²ｂ＋ａ²ｃ＋２ａｂ²＋２ｂ²ｃ＋３ａｂｃ
＝ａ³＋（３ｂ＋ｃ）ａ²＋（２ｂ²＋３ｂｃ）ａ＋２ｂ²ｃ
残念だが、私の低い能力ではここから因数分解出来ない。

与式を次数が２のｂで整理すると
　ａ³＋３ａ²ｂ＋ａ²ｃ＋２ａｂ²＋２ｂ²ｃ＋３ａｂｃ
＝（２ａ＋２ｃ）ｂ²＋（３ａ²＋３ａｃ）ｂ＋ａ³＋ａ²ｃ
＝（２ａ＋２ｃ）ｂ²＋（３ａ²＋３ａｃ）ｂ＋ａ（ａ²＋ａｃ）

２ａ＋２ｃ　　　　ａ²＋ａｃ　　ａ²＋　ａｃ
　　　　　✕
１　　　　　　　　ａ　　　　 ２ａ²＋２ａｃ　　＋
　　　　　　　　　　　　　　 ３ａ²＋３ａｃ　　　　　　

与式＝（（２ａ＋２ｃ）ｂ＋ａ²＋ａｃ）（ｂ＋ａ）
　　＝（２（ａ＋ｃ）ｂ＋ａ（ａ＋ｃ））（ｂ＋ａ）
　　＝（ａ＋ｃ）（２ｂ＋ａ）（ｂ＋ａ）
　　＝（ａ＋ｂ）（ａ＋２ｂ）（ａ＋ｃ）

与式を次数が１のｃで整理すると
　ａ³＋３ａ²ｂ＋ａ³ｃ＋２ａｂ²＋２ｂ²ｃ＋３ａｂｃ
＝（ａ²＋２ｂ²＋３ａｂ）ｃ＋ａ³＋３ａ²ｂ＋２ａｂ²
＝（ａ²＋２ｂ²＋３ａｂ）ｃ＋ａ（ａ²＋３ａｂ＋２ｂ²）
＝（ａ＋ｃ）（ａ²＋２ｂ²＋３ａｂ）
＝（ａ＋ｂ）（ａ＋２ｂ）（ａ＋ｃ）

多項式は次数が低い文字で整理し、次数が高い文字を係数とした方が、因数分解し易い場合があるのを理解出来ただろう。


問２　４ｘ⁴－１２ｘ³＋１３ｘ²－６ｘ＋１＝（ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ）²
ａ＋ｂ＋ｃ＝？

JIMMYさんから頂いた解答

a=-2,b=3,c=-1になるのでa+b+c=0になりました。
今回も教えて下さったJIMMYさんへ感謝！　m(_ _)m　<いつも有難うございます。

私、Ｍｅｎｋａｒｍの解答

　（ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ）²
＝（ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ）（ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ）
＝ａ²ｘ⁴＋ａｂｘ³＋ａｃｘ²
　　　　＋ａｂｘ³＋　ｂ²ｘ²＋ｂｃｘ
　　　　　　　　 ＋ａｃｘ²＋ｂｃｘ＋ｃ²
＝ａ²ｘ⁴＋２ａｂｘ³＋（ｂ²＋２ａｃ）ｘ²＋２ｂｃｘ＋ｃ²
４ｘ⁴－１２ｘ³＋１３ｘ²－６ｘ＋１と係数を比べると・・
ａ²＝４、２ａｂ＝－１２、ｂ²＋２ａｃ＝１３、２ｂｃ＝－６、ｃ²＝１

ａ²＝４　より　ａ＝±２

ａ＝２の時　２ａｂ＝－１２より　ｂ＝－３。
ｂ²＋２ａｃ＝１３へ　ａ＝２　と　ｂ＝－３　を代入して　ｃ＝１
ａ＝２、ｂ＝－３、ｃ＝１　で　２ｂｃ＝－６　ｃ²＝１　となるのを確認。
ａ＋ｂ＋ｃ＝０

ａ＝－２の時　２ａｂ＝－１２より　ｂ＝３。
ｂ²＋２ａｃ＝１３へ　ａ＝－２　と　ｂ＝３　を代入して　ｃ＝－１
ａ＝－２、ｂ＝３、ｃ＝－１　で　２ｂｃ＝－６　ｃ²＝１　となるのを確認。
ａ＋ｂ＋ｃ＝０

答え　ａ＋ｂ＋ｃ＝０

いかがだっただろうか？JIMMYさんと私の解答を見て、私が感じる大きな違いは（当然能力の違いが大きいのだけど、それは置いといてｗ）「経験」の差。JIMMYさんは、多分この辺だなと推測されて、サクサクと解かれている。娘をそのレベルまで持って行きたいが、まだまだ時間が必要。
今回紹介した因数分解は高校レベルだが、このくらいを知らないと中学生向けでもレベルが高めの問題集に手が出せない。出来なくても中学校の成績には関係無いが、ＩＪＳＯ等の試験や高校で進学校の理数なんかを狙うと影響はあるだろう。
娘と私がやっている自宅での数学の学習で、学校で教えない定理や公式の学習を終えて、今はサマーコムカニッタサー試験の対策問題集に取り組んでおり、１０月のピッタームで中２の範囲までを終わらせた。今回の記事で中１の１学期に自宅で学習して難しかった部分の紹介は終わり。

未だやるの？と言われそうだが、最後に息子の大学受験問題集から１問。

問

∠Ａの角度を求めなさい。



息子から教えてくれと頼まれて取り組んだが、中学生でも余裕で解ける問題だった。解答は１週間後に掲載。

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一人で同じ問題集を７冊買う理由

ステップアップを目指してもう一回大学受験をしようと頑張っている息子。同じく再受験を目指している同じ大学の学生数人で集まって毎日勉強しているが、環境の変化が脳の海馬を刺激して能力が高まる話をしてやると、最近は仲間がサイアムの塾へ行く時に同行し、近くのチュラの図書館で勉強するそうだ。自分が合格した後の生活をイメージしながら勉強すると、記憶力が高ま(った気がす)るらしい。（←扱い易いバ◯息子ｗ）

チュラブックセンターへも時々行っており、幼稚園から高校生までを対象にした学習参考書を集めた１４階へ司書の様に知識が豊富なスーパー店員さんが居られるそうで、目標とする大学や学部と理解度を話すと、レベルが合った参考書を紹介していただいたと喜んでいた。

その１４階で息子が見た不思議な光景だが、トリアムウドム高校の生徒が一人で同じ問題集を７冊買っていたそうだ。同じトリアムウドム高の生徒が７冊も買ってどうするのと尋ねると、７回繰り返して解くと答えたそうで、トリアムウドムの生徒は考える事もやる事も違うなと息子が驚いていた。（息子の大学の友だちはＢＮＫの握手券を１２枚買って喜んでいたそうだｗ。）
記憶には繰り返しが有効だそうで、完全に記憶するまで繰り返す回数に個人差は有るが６回くらい繰り返すと大体の人は記憶できるらしい。
先日、昨年の息子の受験勉強にチェックを入れると、解けない設問は解答を見て終わっただけで、解き直しもやってない。これでは解ける物も解けないだろう。昨年は親の干渉を嫌がったくせに、やるべきものは全く出来てない。既に手遅れかも知れないが、今年はそういう低レベルな勉強は許さないつもり。

さて、今日も因数分解の問題を出そう。これは私も娘も悩んだし、大学生の息子へやらせても半分は解けなかった（大恥ｗ）が、これを理解しなければ数学競技会の入賞や上位高校の受験は難しい。題して「中学校で教えない因数分解ｗ」。

問１　①～⑤を因数分解しなさい。
①　（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）（ｘ＋４）＋１
②　ｘ⁴＋４
③　（ｘ²－１）（ｙ²－１）－４ｘｙ
④　５ｘ²－５６ｘ－１５３６
⑤　ａ³＋３ａ²ｂ＋ａ²ｃ＋２ａｂ²＋２ｂ²ｃ＋３ａｂｃ　（誤記修正しました）

問２　４ｘ⁴－１２ｘ³＋１３ｘ²－６ｘ＋１＝（ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ）²
ａ＋ｂ＋ｃ＝？


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外接円の半径の求め方

「ピッ（閉）ターム（学期）」に娘と取り組んで難しかった外接円の半径の求める問題の解答。

問



三角形ＡＢＣの外接円の半径を求めなさい。


JIMMYさんから頂いた解答

極めて教科書通りに解きますと、
三辺の長さ a,b,c、外接円の半径R の三角形の面積 S は、S＝abc/4RですのでS=4*5*6/4R=30/R。

また三辺の長さ a,b,c、の面積 S は、ヘロンの公式で求められます。
S^2＝s(s-a)(s-b)(s-c)
s=1/2(a+b+c)

そこで両者を合わせると、
S^2=(30/R)^2=15/2*(15/2-4)*(15/2-5)*(15/2-6)=7*(15/4)^2
30/R=√7*(15/4)

R=(8/7)*√7
＝（８√７）／７　←の「＝（８√７）／７」と１段上の(8/7)を囲む「(）」はメンカームが書き加えました。

私が少し解説。
先ずはＳ＝ａｂｃ／４Ｒについて。



Ｂから円の中心を通る直線を引き、円周との交点をＡ'とする。
∠Ａ'ＣＢ＝９０°（小６レベルの知識）
∠Ａと∠Ａ'は同じ弧ＢＣの上に立つ円周角で等しく、三角形の辺ＢＣ＝ａとすると、
正弦定理により　ａ＝２ＲｓｉｎＡ　　ｓｉｎＡ＝ａ／２Ｒ　---①



⊿ＡＢＣの面積Ｓ＝（１／２）・ｈ・ｃ
ｈ＝ｂｓｉｎＡなので
Ｓ＝（１／２）・ｂｓｉｎＡ・ｃ
①より
ｓｉｎＡ＝ａ／２Ｒなので
Ｓ＝（１／２）・ｂ（ａ／２Ｒ）・ｃ
　＝ａｂｃ／４Ｒ

Ｓ＝５・４・６／４Ｒ
　＝３０／Ｒ　---②


続いてヘロンの公式の解説。

⊿ＡＢＣの面積Ｓ＝（１／２）・ｈ・ｃ
ｈ＝ｂｓｉｎＡなので
Ｓ＝（１／２）・ｂｓｉｎＡ・ｃ
　＝（１／２）・ｂｃｓｉｎＡ
　＝（１／２）・ｂｃ√１－ｃｏｓ²Ａ
第二余弦定理 ａ²＝ｂ²＋ｃ²－２ｂｃ・ｃｏｓＡより
ｃｏｓＡ＝（ｂ²＋ｃ²－ａ²）／２ｂｃ
Ｓ＝（１／２）・ｂｃ√１－（（ｂ²＋ｃ²－ａ²）／２ｂｃ）²
　＝（１／２）・ｂｃ√（（２ｂｃ）²－（ｂ²＋ｃ²－ａ²）²）／（２ｂｃ）²
　＝（１／４）√（（２ｂｃ）²－（ｂ²＋ｃ²－ａ²）²）
　＝（１／４）√（２ｂｃ＋ｂ²＋ｃ²－ａ²）（２ｂｃ－ｂ²－ｃ²＋ａ²）
　＝（１／４）√（（ｂ＋ｃ）²－ａ²）（ａ²－（ｂ－ｃ）²）
　＝（１／４）√（ａ＋ｂ＋ｃ）（－ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ－ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）
　＝√（（ａ＋ｂ＋ｃ）／２）（（ａ＋ｂ＋ｃ－２ａ）／２）（（ａ＋ｂ＋ｃ－２ｂ）／２）（（ａ＋ｂ＋ｃ－２ｃ）／２）
　＝√（（ａ＋ｂ＋ｃ）／２）（（（ａ＋ｂ＋ｃ）／２）－ａ）（（（ａ＋ｂ＋ｃ）／２）－ｂ）（（（ａ＋ｂ＋ｃ）／２）－ｃ）

ｓ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）／２
Ｓ＝√ｓ（ｓ－ａ）（ｓ－ｂ）（ｓ－ｃ）
Ｓ²＝ｓ（ｓ－ａ）（ｓ－ｂ）（ｓ－ｃ）

ｓ＝（５＋４＋６）／２＝１５／２
Ｓ＝√（１５／２）（（１５／２）－５）（（１５／２）－４）（（１５／２）－６）
　＝√（１５／２）（５／２）（７／２）（３／２）
　＝√（１５・５・７・３／１６）
　＝１５√７／４
②より正弦定理を利用して求めた⊿ＡＢＣの面積Ｓ＝３０／Ｒなので
３０／Ｒ＝１５√７／４
Ｒ＝３０／（１５√７／４）＝８／√７＝８√７／７

定理を導いたので長くなったが、定理を覚えて利用すれば短くサクサクと解ける。定理の証明は高校レベルだが、中学生でも式を覚えて活用できる。日本の高校受験参考書にも書かれている。以上JIMMYさんから頂いた解答の解説終わり。
解答を頂いたJIMMYさんへ感謝。m(_ _)m


次にtaiyaiさんから頂いた解答

同じ弧の上に立つ円周角同一ですね。
直角三角形から　２ＲｓｉｎＡ＝５です。Ｒは半径。
第二余弦定理でｃｏｓＡはわかっています。　９／１６
半径は、８／√７＝（８√７）／７←の「＝（８√７）／７」はメンカームが書き加えました。

こちらも私が少し解説。

「同じ弧の上に立つ円周角同一」は・・・



Ｂから円の中心を通る直線を引き、円周との交点をＡ'とする。
∠Ａと∠Ａ'は同じ弧ＢＣの上に立つ円周角で等しいことを指している。
三角形の辺ＢＣ＝ａとすると、正弦定理により　ａ＝２ＲｓｉｎＡ＝５　　ｓｉｎＡ＝５／（２Ｒ）　---①

第二余弦定理は 2 つの辺の長さと 1 つの内角の大きさが分かっていれば、もう 1 つの辺の長さが決まるという定理。



ａ²＝ｂ²＋ｃ²－２ｂｃ・ｃｏｓＡより
ｃｏｓＡ＝（ｂ²＋ｃ²－ａ²）／２ｂｃ
　　　　＝（４²＋６²－５²）／２・４・６
　　　　＝（１６＋３６－２５）／４８
　　　　＝２７／４８＝９／１６　---②

ここからどうやってＲを求められたのか書いて頂いてないので私の推測だが・・・

【推測１】
ｓｉｎＡ＝５／２Ｒを示されているので、
ピタゴラスの基本三角関数公式　ｓｉｎ²Ａ＋ｃｏｓ²Ａ＝１より
ｃｏｓ²Ａ＝１－ｓｉｎ²Ａ
①より　ｓｉｎＡ＝５／（２Ｒ）　なので
ｃｏｓ²Ａ＝１－（５／（２Ｒ））²

②より　ｃｏｓＡ＝９／１６　なので
（９／１６）²＝１－（５／（２Ｒ））²
（５／（２Ｒ））²＝１－（９／１６）²
２５／４Ｒ²＝１－（８１／２５６）
２５／４Ｒ²＝１７５／２５６
２５・２５６＝１７５・４Ｒ²
Ｒ²＝（２５・２５６）／（１７５・４）
Ｒ²＝２５６／２８＝６４／７
Ｒ＝８／√７＝（８√７）／７

【推測２】
ｓｉｎＡ＝５／２Ｒを示されているが、第二余弦定理で求めた ｃｏｓＡ＝９／１６ しか使わなかったとすれば



辺Ａ'Ｃ＝２ＲｃｏｓＡ＝２Ｒ（９／１６）＝９Ｒ／８
ピタゴラスの定理を利用して、
ＡＢ²＝ＢＣ²＋Ａ'Ｃ²
（２Ｒ）²＝５²＋（９Ｒ／８）²
４Ｒ²＝２５＋８１Ｒ²／６４
（４－（８１／６４））Ｒ²＝２５
Ｒ²＝２５／（１７５／６４）＝６４／７
Ｒ＝８／√７＝（８√７）／７

taiyaiさんの解答も高校で学ぶ第二余弦定理を使ったが、簡単に答えが導ける。
解答を頂いたtaiyaiさんへ感謝！m(_ _)m


最後に日本の参考者「塾技数学１００」を見ながら解いた私、メンカームの解答



点Ａから辺ＢＣの垂線を引き、垂線と辺ＢＣの交点をＤ、ＡＤの長さをｈ、ＤＣの長さをａとする。
⊿ＡＣＤをピタゴラスの定理で表す。
４²＝ａ²＋ｈ²　---①
⊿ＡＢＤをピタゴラスの定理で表す。
６²＝（５－ａ）²＋ｈ²
　　＝５²－１０ａ＋ａ²＋ｈ²
①の式を代入して
６²＝５²－１０ａ＋４²
１０ａ＝５²＋４²－６²
　　　＝２５＋１６－３６
　　　＝５
ａ＝１／２

①より
ｈ²＝４²－ａ²
　　　　　　　＝４²－（１／２）²
　　　　　　　＝１６－（１／４）
　　　　　　　＝６３／４
ｈ＝√６３／２＝√３²×７／２＝３√７／２



Ａから円の中心を通る直線を引き、円周との交点をＥとする。
∠ＡＢＥ＝∠ＡＤＣ＝９０°（∠ＡＢＥ＝９０°は、小６レベルの知識）
同じ弧ＡＢ上の円周角で等しいので、
∠ＡＥＢ＝∠ＡＣＤ
⊿ＡＢＥと⊿ＡＤＣは、２つの角が等しいので、
⊿ＡＢＥ∽⊿ＡＤＣ
相似な２つの三角形の辺の長さの比は等しいので、
６：（３√７／２）＝２Ｒ：４
（３√７／２）・２Ｒ＝６・４
（３√７）Ｒ＝２４
Ｒ＝２４／（３√７）＝８／√７＝（８√７）／７

三角関数を使わず、相似な三角形の辺の長さの比を利用した解き方。


外接円の半径を求める問題は５月にも１問紹介している。学校の授業ではそれほど教えないが、数学の競技会や上位の高校を目指すなら理解しておきたい。
娘は塾技数学１００の解き方しか教えてないが、そろそろ高校で習う第二余弦定理も教えるつもり。
第二余弦定理は大学生の息子が「分からない」と言ってきた問題があるので、それも後日記事にしよう。

この記事が長々と数式ばかりなのを見た娘から「そんな面倒なのは、誰も読まないよ❤」と言われたが、紙で保管しているとどこへ行ったか判らなくなるのが我が家。元々勉強嫌いな私は、参考書を読んで知った１つの解き方しか分からないが、記事にしたので沢山の解き方を教えて頂いた。解答やコメントを頂いた皆様へ感謝！


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メネラウスの定理を簡単に理解する

今日も中学生向けの数学の話。メネラウスの定理のまとめだ。

先日は日本の高校受験参考書と睨めっこをしながら、下の様に（ＡＣ／ＣＦ）×（ＦＥ／ＥＢ）×（ＢＤ／ＤＡ）＝１ を導いてみた。



ＤＣと平行な線をＦから引き、ＡＢとの交点をＰとする。
ＡＣ：ＣＦ＝ＤＡ：ＤＰ
ＡＣ・ＤＰ＝ＤＡ・ＣＦ
（ＡＣ／ＣＦ）＝（ＤＡ／ＤＰ）　---①
ＦＥ：ＥＢ＝ＤＰ：ＢＤ
ＦＥ・ＢＤ＝ＤＰ・ＥＢ
（ＦＥ／ＥＢ）＝（ＤＰ／ＢＤ）　---②
①×②
（ＡＣ／ＣＦ）×（ＦＥ／ＥＢ）＝（ＤＡ／ＤＰ）×（ＤＰ／ＢＤ）
両辺へ（ＢＤ／ＤＡ）を掛ける。
（ＡＣ／ＣＦ）×（ＦＥ／ＥＢ）×（ＢＤ／ＤＡ）＝（ＤＡ／ＤＰ）×（ＤＰ／ＢＤ）×（ＢＤ／ＤＡ）
（ＡＣ／ＣＦ）×（ＦＥ／ＥＢ）×（ＢＤ／ＤＡ）＝１

辺ＡＣ上のＡＣとＣＦの割合（ＡＣ／ＣＦ）を辺ＡＢ上のＤＡとＤＰの割合（ＤＡ／ＤＰ）へ変換し、辺ＦＢ上のＦＥとＥＢの割合（ＦＥ／ＥＢ）も辺ＡＢ上のＤＰとＢＤの割合（ＤＰ／ＢＤ）に変換。この２つの割合を掛け合せた上へ辺ＡＢ上のＢＤとＤＡの割合ＢＤ／ＤＡも掛けると1になると導いているが、中１の娘は理解できてもスッキリでは無いらしく、タイヤイさんから頂いたアドバイスと問題集の模範解答を参考に「高さが等しい三角形は、面積比と底辺の長さの比が等しい」のを利用してメネラウスの定理を導いてみたい。

先ずはメネラウスの定理を導く基になる「高さが等しい三角形は、面積比と底辺の長さの比が等しい」の話から。



⊿ＡＢＧと⊿ＡＣＧは共に高さがｈの三角形。
⊿ＡＢＧの面積Ｓ1＝（ＢＧ×ｈ）÷２
⊿ＡＣＧの面積Ｓ2＝（ＣＧ×ｈ）÷２
Ｓ1：Ｓ2＝（ＢＧ×ｈ）÷２：（ＣＧ×ｈ）÷２
　　　　 ＝ＢＧ：ＣＧ
⊿ＡＢＧの面積Ｓ1と⊿ＡＣＧの面積Ｓ2の面積比は、⊿ＡＢＧの底辺ＢＧと⊿ＡＣＧの底辺ＣＧの長さの比と等しい。



⊿ＥＢＧと⊿ＥＣＧは共に高さがｊの三角形。
⊿ＥＢＧの面積Ｓ3＝（ＢＧ×ｊ）÷２
⊿ＥＣＧの面積Ｓ4＝（ＣＧ×ｊ）÷２
Ｓ3：Ｓ4＝（ＢＧ×ｊ）÷２：（ＣＧ×ｊ）÷２
　　　　 ＝ＢＧ：ＣＧ
⊿ＥＢＧの面積Ｓ3と⊿ＥＣＧの面積Ｓ4の面積比は、⊿ＥＢＧの底辺ＢＧと⊿ＥＣＧの底辺ＣＧの長さの比と等しい。

⊿ＡＢＥの面積Ｓ5＝Ｓ1－Ｓ3
　　　　　　　　 ＝（（ＢＧ×ｈ）÷２）－（（ＢＧ×ｊ）÷２）
　　　　　　　　 ＝ＢＧ（ｈ－ｊ）÷２
⊿ＡＣＥの面積Ｓ6＝Ｓ2－Ｓ4
　　　　　　　　 ＝（（ＣＧ×ｈ）÷２）－（（ＣＧ×ｊ）÷２）
　　　　　　　　 ＝ＣＧ（ｈ－ｊ）÷２
⊿ＡＢＥの面積Ｓ5：⊿ＡＣＥの面積Ｓ6＝Ｓ1－Ｓ3：Ｓ2－Ｓ4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ＢＧ（ｈ－ｊ）÷２：ＣＧ（ｈ－ｊ）÷２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ＢＧ：ＣＧ
⊿ＡＢＥの面積Ｓ5と⊿ＡＣＥの面積Ｓ6の面積比は、ＢＧとＣＧの長さの比と等しい。


ここまでを理解したらメネラウスの定理へ入ろう。



このままでは難しいので、以下の様にＡＥとＢＣへ補助線を入れ、⊿ＥＡＦの面積をＳ１ ⊿ＥＣＦの面積をＳ２ ⊿ＥＢＣの面積をＳ３とする。



⊿ＥＡＦと⊿ＥＣＦは高さが等しい三角形で、面積比Ｓ１：Ｓ２と底辺の長さの比ＡＦ：ＣＦが等しいので、
ＡＣ／ＣＦ＝（Ｓ１＋Ｓ２）／Ｓ２

⊿ＥＣＦと⊿ＥＢＣは高さが等しい三角形で、面積比Ｓ２：Ｓ３と底辺の長さの比ＦＥ：ＥＢが等しいので、
ＦＥ／ＥＢ＝Ｓ２／Ｓ３

⊿ＥＢＣと⊿ＥＡＣの面積比Ｓ３：（Ｓ１＋Ｓ２）と 辺ＢＤと辺ＤＡの長さの比ＢＤ：ＤＡが等しいので、
ＢＤ／ＤＡ＝Ｓ３／（Ｓ１＋Ｓ２）

（ＡＣ／ＣＦ）・（ＦＥ／ＥＢ）・（ＢＤ／ＤＡ）＝（（Ｓ１＋Ｓ２）／Ｓ２）・（Ｓ２／Ｓ３）・（Ｓ３／（Ｓ１＋Ｓ２））
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（（Ｓ１＋Ｓ２）／Ｓ２）・（Ｓ２／Ｓ３）・（Ｓ３／（Ｓ１＋Ｓ２））
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１

「高さが等しい三角形は、面積比と底辺の長さの比が等しい」を利用するとメネラウスの定理を簡単に導ける。


同じ方法でチェバの定理も導く。

チェバの定理についての詳細な解説はウィキペディアを参照。　日本語のページ　タイ語のページ



チェバの定理とは上の図で（ＡＤ／ＤＢ）・（ＢＧ／ＧＣ）・（ＣＦ／ＦＡ）＝１の等式が成立する定理。

ＡＤ／ＤＢ＝⊿ＥＣＡ／⊿ＥＣＢ＝Ｓ２／Ｓ３
ＢＧ／ＧＣ＝⊿ＥＡＢ／⊿ＥＣＡ＝Ｓ１／Ｓ２
ＣＦ／ＦＡ＝⊿ＥＣＢ／⊿ＥＡＢ＝Ｓ３／Ｓ１　なので
（ＡＤ／ＤＢ）・（ＢＧ／ＧＣ）・（ＣＦ／ＦＡ）＝（Ｓ２／Ｓ３）・（Ｓ１／Ｓ２）・（Ｓ３／Ｓ１）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（Ｓ２／Ｓ３）・（Ｓ１／Ｓ２）・（Ｓ３／Ｓ１）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１

このくらいに書くと中１の娘でも理解できるそうだ。単に式だけ覚えるより良いだろう。メネラウスの定理もチェバの定理も中学や高校では教えないらしく、タイの高校受験や大学受験の問題集でも「高さが等しい三角形は、面積比と底辺の長さの比が等しい」のを利用して解いてあるが、そんなことをやっていたのでは１問３分で解くのは難しい。この２つの定理は受験の時に強力な武器として働いてくれるだろう。


タイの中学生向け数学ギフテッド問題の記事へのリンク→#高１入試ギフ

タイの高校生向け数学入試問題の記事へのリンク→#大学入試


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「そんな大学は退学してしまえ！」と喉まで出掛かった。

息子の大学は、前期と後期授業の間の休み「ピッ（閉）ターム（学期）」ではないのだが、以前はピッタームだったこの時期に卒業式が有るという理由で数週間の休み。息子は先月の１０日に帰って約３週間を我が家で過ごし、目の下の黒い隈は無くなり、体は１５０％の横拡大ｗ。２９日の夜のバスでバンコクへ向かった。
７月にバンコクへ向かった時は期待に胸を膨らませて旅立ったが、今回は失望の中を仕方無しでの旅立ち。後期から休学し受験後に復学すれば夏休みに取り戻せると息子は言い、取り敢えず前期を終わらせて休学するつもりだが、息子が夢も希望も見つけられない大学へ復学させるつもりは私に全く無い。「そんな大学は退学してしまえ！」と喉まで出掛かったが、退学した後に受験で失敗すれば更に下位の大学で学ぶことになる。背水の陣で受験へ挑むより、逃げ場が有った方がリラックスして取り組めるだろうと思っての休学。「行くな」と言いたい気持ちを押し殺して送り出した。


さて、今日も「ピッ（閉）ターム（学期）」に娘と取り組んで難しかった数学の問題を紹介しよう。

問



三角形ＡＢＣの外接円の半径を求めなさい。

解答は来週末の記事で紹介するつもり。

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