名探偵は 消去法で 考える～ のか？

前回の問題

ある２桁の素数Xを４０で割ったときのあまりを ｒ とする。

このとき ｒ を１１で割るとあまりが５になる。

ある素数X を 求めましょう。

 

ここで A も、B も、ｒ も  いったいいくらなのかが分からない

しかし、何十通りもあるわけではない！

最後に出てきます ｒ の可能性を考えますと

ｒ は、４０未満である。（４０で割ったときの あまりですから）

４０未満の数で１１で割ってあまりが５になるのは

Bが １ と ２ と ３ の時だけである。

これで ｒ は、 １６ か ２７ か ３８ の3通りに 絞られました。

最初に戻って

2桁の素数 X は、  X=４０×A＋ｒ   と 表されます。

４０×A  は、 絶対偶数です。だから、ｒ は偶数であってはならない！

だって、X は ２桁の素数ですから 偶数にはならない！

そうしますと、奇数の ｒ は２７ だけ！

ｒ は２７に決定！！

と ここで終わったわけではありません。

Xを 求めなくっちゃ～

X=４０A＋２７  で  Aが２以上になると Xは３桁以上になってしまいますので

A＝１

そうしますと  X=４０×１＋２７  より  X＝６７  これが答えです。

 

言葉の意味を 考える 素数とは？

数学の文章問題は、

言葉の解釈  から始まります。

整数、自然数、素数、無理数 などの数学独特の用語、 

半分とか 以上とか 満たないとか 2割引とかの数字を表す表現

国語で習う文章のように きれいな日本語になっていないものが

多数あります！

まさに読み解かなくてはならない暗号文のようです。

 

では、この暗号文は  読み解けるでしょうか？

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ある２桁の素数Xを４０で割ったときのあまりを ｒ とする。

このとき ｒ を１１で割るとあまりが５になる。

ある素数X を 求めましょう。

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まず、素数って何でしょう？

数学の定理では、

素数（そすう、英: prime number）とは、1 と自分自身以外に正の約数を持たない、1 でない自然数（正の整数）のことである。正の約数の個数が 2 の自然数と言うこともできる。

となっています。

ここをしっかり押さえておかないと、

この問題は読み解けません。

それと、いくつかの可能性があれば、条件に合わないものから

消去していく方法もあります。

まさに、探偵ですね。

 

素数と言えば、世界には「素数ゼミ」という セミがいるそうで

１３年とか１７年周期で地上に現れるセミだとか。

不思議ですね～

 

 

 

続・方程式の作り方～

前回の問題

AからBを通ってCに向かう道があります。

AC間は、バスで６分かかり、徒歩なら４０分かかります。

また、その距離は３．２ｋｍでした。

今、AからBまで行くのに AからCまでバスで行き

CからBまで徒歩で戻った場合と

AからBまで 徒歩で行った場合にかかった時間は同じであった。

AB間の道のりは何ｍか？

それでは、図を描いてみましょう

問題に書かれてある数字を書き入れただけです。

そしてここで分かることは

 

問題の条件を書き入れますと

そして、時間で考えると

距離の図に、時間を書き入れますと

そうしますと

と計算できます。

でも、直接距離を求めたい場合はどうするか？

これを解きますと

Y=１８４０    答えは同じです。

 

どちらの方法も使えるようになってほしいな～

 

 

方程式の 作り方～

中学に入りまして、負の数というものを習い、文字式というものを習いますと

次に待っているのが  方程式  ！

簡単な方程式は

２X＝６      などのように 短くて すぐにXの値が暗算で分かってしまうようなもの

そしてむつかしい物は、分数や小数や括弧が入り交じったもの

これらも慣れていると解けるようになってきます。

未知数を求めるための方法がほぼ決まっていますから

あとはこれらの方法を使っていくだけ～

でも、

とてつもなくむつかしいと思うのは、文章問題・・・・・

どうやって方程式を書けばいいの？という  むつかしさがあります。

 

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AからBを通ってCに向かう道があります。

AC間は、バスで６分かかり、徒歩なら４０分かかります。

また、その距離は３．２ｋｍでした。

今、AからBまで行くのに AからCまでバスで行き

CからBまで徒歩で戻った場合と

AからBまで 徒歩で行った場合にかかった時間は同じであった。

AB間の道のりは何ｍか？

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この問題を整理するときに、絵を書いて考えてみます。

では、どのように絵を書いたら 方程式が作りやすいのか？

ここで考え方が２通りあります。

１つは、距離を表す絵をかく場合

もう一つは、時間を表す絵を書く場合

さて、今回はどちらの場合が式を作りやすくするのか？

ま、

両方書いてから考える！という方法もあります。

 

比 と ％ が 出てくる 連立方程式 ~(T_T)~

連立方程式の文章問題で、多くの人が苦手なようなのが

比  と、  ％ が  出てくる問題！

どうやって式にしたらいいのかがよく分からない～

たとえば

Aさんが持っているお金と、Bさんが持っているお金の比は２：３で

２人の合計が４５００円だとしますと、

A:B＝２：３

A＋B＝４５００

というような式が作れますが、このままでは連立方程式にならないので

比の式を 等式に変えます。内項の積＝外項の積  というカタチですね。

A：B＝２：３   より   ３A＝２B   ３A－２B＝０  というように変形します。

比の式を 等式に変える  というところが ミソ！

 

もう一つの％を使った問題。

昨年度の 商品Pと、商品Qの生産数は 合計で１２００個でした。

今年は Pが１０％増産で Qは２０％減産となり 合計は１１１０個でした。

今年の P と Q の 生産数はいくらでしょうか。

 

このような問題の時は、昨年度のP と Q の生産数を X 、Y として

式を作った方が簡単になります。

ここで、１０％増産と２０％減産をどう式にするのか？という大問題が・・・

１０％増産したら、１１０％になることですから分数で書けば１１０／１００倍

小数で書けば １．１倍

２０％減算は、８０％になることですから分数で書けば８０／１００倍

小数で書けば ０．８倍

式は

X＋Y＝１２００

１．１X＋０．８Y＝１１１０

このようになります。

この連立方程式を解いて X と Y の値を求め

今年のPは、（Xの値）×１．１

今年のQは、（Yの値）×０．８  と 計算します。

他の問題で、２０％引き  と 書かれてあれば ８０％になり ０．８倍すればOK！

５％の食塩水となっていれば、食塩水全体の０．０５倍が 塩 です。

 

ではでは、この比と ％が混ざった問題は、解けるでしょうか？

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A君とBさんは 買い物に出かけました。

最初、A君とBさんの持っていたお金の比は４：５でした。

A君は持っていたお金の２０％を使い

Bさんは持っていたお金の３０％を使いましたら

２人が持っているお金の差額は１８０円になりました。

２人は、最初にいくらずつ持っていたのでしょうか？

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