回るとどうなる？ 回転体の 体積

割り箸の 先に 円形の板をはさんで

その割り箸を くるくる～と回しますと

平面だった円が、球形に見えてきます。

このように平面を ある軸で回転させたときにできる回転体の体積を考えます。

直角三角形で、斜辺以外の辺を軸にして回転させると

三角錐ができます。

この三角錐の体積の求め方は、もう習った方が多いのでは？

とんがり帽子の三角錐の体積は

底面積×高さ÷３  でした。

なぜ ３ で割るのか？ ということについては ほとんどの人が習っていません。

教科書には、明記されていなかったように思います。

文章で説明するには複雑ですからね～先送りですね～

（ここで、先送りなんかしないできちんと説明しろ！と叫ぶ学生など

皆無なんでしょうね・・・・・

教室では２種類の模型を作って、立体でせつめいしていますが・・・）

 

今回は、三角形ではなく、直角三角形を２枚使った平行四辺形を回転させます。

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平行四辺形ABCDで、

辺AD＝２ｃｍ、DB=４ｃｍ、∠ADB＝∠CBD＝９０°の場合、

DBを軸に回転させたときにできる回転体の体積はいくらでしょう？

円周率はπとします。

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ヒント：真ん中で、２つに切って考えると、分かりやすいかもしれません。

 

回転体の問題は、数多くあります。どれも円周率は不可欠ですね。

そして、上の問題のように 回転したときの図が描いてある物と

文章だけの問題というのもあります。

図が描いていないものは、自分で描けるようになっていないと

ちょっと大変かも～

 

次のような文章問題だと、図が描けますか？

 

同一平面上において、３ｃｍ間隔で平行な直線、L,M,N. がある。

L,M,N  に垂直な線P とPから３ｃｍの距離でPに平行な直線Qがあるとき

L,M,P,Q で囲まれた正方形が、Nを軸にして回転したときにできる

回転体の体積を求めましょう。

素因数分解 で 考えると 楽かも～

前回の問題を、もう少し簡単にしてみます。

 

１×２×３×４×５  の計算結果なら、

桁数の小さい方からいくつ ０ が並ぶでしょう？

これは、式を素数の積で 書き直しますと

１×２×３×２×２×５  となります。

これは、

（１×２×３×２）×（２×５）＝ （１×２×３×２）×１０＝１２×１０＝１２０

となり、こたえは  １つ。

素数の積にした時に、２×５  が、いくつあるのか？が分かれば

計算結果のしっぽに付く ０ の数が分かります。

 

 

１×２×３×・・・・・・・×２０  の場合、素数の積にしたときに

２×５ がいくつ出てくるか？ということを考えますと、

２よりも５の素数の方が少ないので、約数に５が含まれる数字は

５ 、１０ 、１５ 、２０ の ４つですね。

１×２×３×・・・・・・・×２０ を素因数分解した時に、

２×５ は、４つありますので、桁数の小さい方から連続して ４つ ０ が並びます。

 

この考え方が分かれば、

１×２×３×・・・・・・・×１００ の場合でも、簡単に計算できます。

 

ところで、１×２×３×・・・・・・・×２０ の計算結果はいくらになるのか？

電卓は使えませんが、お近くにパソコンがあれば、

ほとんどのパソコンに入っていると思われる

電卓 というアプリケーションを開いて式を入力しますと計算できます。

（やたら桁数が多いのです）

ウインドウズパソコンの場合は、

左下の スタートボタン から、プログラム→アクセサリ→電卓と進みます。

（機種によっては表示の仕方がちがう場合があります）

 

 

 

 

電卓が使えない計算！

卓上計算機は、その性能がどんどん良くなってきて、計算の速さもどんどん早くなってきています。

そして、個人で購入できるくらいの価格での卓上計算機でもかなり高度な計算ができるものが出てきました。

スマートホンのアプリなどでは、複雑な計算式をそのまま打ち込めば

瞬時に計算できてしまう物もあります。

そんな高度な卓上計算機ですが、

問題によっては計算ができないこともあります。

たとえば、次のような問題。

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 １×２×３×４×５×６×７×８×９×１０×１１×１２×１３×１４×１５×１６×１７×１８×１９×２０

の計算結果で、桁数の小さい方から連続して いくつ ０ が並ぶでしょうか？

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さあ、これは卓上計算機で確認するのは大変です。

普通、安い電卓は８桁まで、少し大きめの電卓でも１６桁まで、

スマホのアプリで大きな数が計算できる物なら分かるかもしれませんが

手元にある数種類の計算アプリでは、最高が１６桁まででした。

この計算をしようと思えば１９桁以上表示できる計算器でないと無理です。

ところが、考え方しだいで すぐに答えが分かってしまうのです。

 

では、その考え方とは？

 

 

 

食塩水の問題は、塩の量から考える！

食塩水でややこしいのは、

１００ｇの水に、３ｇの塩を溶かした食塩水Aと

３％の食塩水Bとでは

どちらの方が しょっぱいでしょう？

というような問題。

 

答えは、Bです。

 

え？どうして？ 同じじゃないの？  と思う方

A と B の塩の量が同じ ３ｇ だった場合を考えますと

A の 水は １００ｇ

B の 水は （100-3）で９７ｇ   ですから

B の方が、水の量が少なく（Aより濃度が高い）Aよりしょっぱくなります。

 

その差はごくわずかですから、なめて分かるのか？という問題は残りますが・・・

 

そして前回の問題

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実験で使う濃度１０％の食塩水Aと、濃度５％の食塩水Bがあります。

濃度７％の食塩水を作りたくて、まずBの食塩水を１００ｇ入れ

次に間違えて 水を１００ｇ入れてしまいました。

ここにAを 何ｇ入れると 濃度７％の食塩水になるでしょうか？

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入れる10％の食塩水を X ｇ としますと、

と、このようになります。

 

 

 

 

シビアな 食塩水の 問題

連立方程式を習い、その文章問題が出てくる頃

食塩水の問題が出てきます。

たとえば、

濃度２％の食塩水３００ｇと、濃度６％の食塩水１００ｇを混ぜると

濃度何％の食塩水ができるでしょうか？

 

このあたりの問題ですとまずまずよくあるパターンです。

食塩水の濃度といい、その量といい、現実的ですが

問題によっては、非現実的な問題もあらわれます。

 

濃度２０％の食塩水１００ｇと 濃度３０％の食塩水100gを混ぜると

濃度何％の食塩水ができるでしょうか？

 

これは、問題が間違っています！

食塩水で３０％は、私達が普通に暮らす環境では作れません。

あのとてもしょっぱい海水でさえ約３％です。

 

そんな、非現実的な食塩水の問題で、ぎりぎりセーフという問題

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実験で使う濃度１０％の食塩水Aと、濃度５％の食塩水Bがあります。

濃度７％の食塩水を作りたくて、まずBの食塩水を１００ｇ入れ

次に間違えて 水を１００ｇ入れてしまいました。

ここにAを 何ｇ入れると 濃度７％の食塩水になるでしょうか？

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さて、どうやって解きましょうか？

まずは、図を描いてかんがえましょう

 

ここで作られた食塩水は、料理には使えないでしょうね～

しょっぱすぎて・・・・・・・

ご家庭で、野菜を切って浅漬けを作るときの食塩の量は

野菜の３％くらいが適量のようです。海水と同じ濃度ですね。