ロングスプリントにも追参を導入すればいいじゃない

400mトラックの100mスタート地点を原点にとり、ゴールに向かってx軸、200mスタート地点に向かってy軸、上空に向かってz軸を取る。

この座標上で、時刻 t での風速ベクトルを w = (x, y, z, t) と定義する。


トラックを走る人の速度ベクトルが、スタートしてからの時間 t の関数 v(t) として与えられているとする。



いや、もしかしたら速度ベクトルは水濠 (-10, 40, 0) ぐらいで急激に大きさが減少する場合もあるかもしれないから、いちおうパラメータに位置も組み込むと、v(x, y, z, t) で表せるとする。


空気抵抗は風との相対速度の大きさの二乗に比例する。

抵抗を f とすると、比例定数を a として

f = a*(相対速度)^2 [N] で、ある本によると

一般人の体形で比例定数は a = 0.2744 [kg/m] であるらしい。


ここで、風ベクトルの、速度ベクトルに対する法線成分は 400m のタイムに無関係であるとして議論することにする。


向かい風をマイナス、追い風をプラスで表現すると、

風との相対速度は、内積を使って

(w・v)/|v| - |v| [m/s]

で表せる。


よって、時刻 t [s] での抵抗値は


0.2744 * ((w・v)/|v| - |v|)^2 [N]


であり、これを走路 s に沿って線積分すると、


0.2744 * ∫s (((w・v)/|v| - |v|)^2) ds



この次元は [Ns] = [J] だからこれは、走路 s として 400m トラック一周を指定した場合、 これは 400m 走での風によるエネルギーロス、または利得を表している。


積分の結果がマイナス方向に大きいほど風によってエネルギーを余計に使っている。


ちなみに、風　(w・v)/|v|　を走路に沿ってインテグラルって400 [m] で割ると、全体の平均風速

∫s ((w・v)/|v|) ds /T [m/s]


が計算できる。


積分の結果がプラスなら追い風、マイナスなら向かい風。





合ってる？