自由落下と運動方程式・その解

重力のみがはたらく場合の質量mの物体の位置に関する運動方程式（微分方程式）は、
重力が一定であるとすると、以下のようになる。



1:<math>mH''=-mg</math>


（ただし、Hは物体の高さ、tは時刻、gは重力加速度、mは物体の質量とする。）




その解は、
2:
<math>H=H_0-
\frac{1}{2}
gt^2 </math>


（ただし、H0は時刻0における物体の高さ、初速は0とする。）




となる。


一方、重力は高さによって変化するので、重力の変化を考えると運動方程式は以下のようになる。



3:
<math>
mH''=-G\frac{mM}{H^2}
</math>


（ただし、Hは天体の中心からの距離、tは時刻、Gは重力定数、Mは天体の質量とする。
初速は0とする。）




この微分方程式を解くと、解は以下のようになる。



4:
<math>
t=\sqrt{\frac{H_0^3}{2GM}}
\left(
\frac{\sqrt{H(H_0-H)}}{H_0}
+
arccos\sqrt{\frac{H}{H_0}}
\right)
</math>



（ただし、H0は時刻0における物体の高さ、初速は0、
arccosはcosの逆関数であり定義域は-1から1、値域は0からπとする。）




本当はHをtの式で書きたかったが、tをHの式で書くことになってしまった。


t-Hのグラフは以下のようになる。



5:
<math>
\frac{\pi H_0}{2}\sqrt{\frac{H_0}{2GM}}
</math>



※<math></math>で囲まれた部分は筆者のメモのようなものなので気にしないでください。
※月の高さから地球にモノを落とすと、12時間で地球に落ちてくることになる。