百物語改め「九一三・六物語」

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平成27年度（2015年）国家公務員採用試験　総合職　解答　解説 【確率変数と極限】

2015-05-31 | 数学

国家公務員採用試験　総合職　解答

5月24日に国家公務員試験の1次試験がありました。

解答・解説を1日1問以下のスローペースでアップしていこうと思います。

【数理科学・物理・地球科学】専門（多肢選択）

No44

 

分散をVで表現します。

V(X_n)=E(X_n^2)-E(X_n)^2=n-1

すなわちX_nは期待値1、分散n-1の確率変数です。

Y=frac{1}{n}sum_{j=1}^n X_jとします。

E(Y)=frac{1}{n}sum_{j=1}^n E(X_j)=frac{1}{n}sum_{j=1}^n 1=1

V(Y)=frac{1}{n^2}sum_{j=1}^n V(X_j)=frac{1}{n^2}sum_{j=1}^n (j-1)=frac{1}{n^2}frac{(n-1)n}{2}=frac{n-1}{2n}

e_n=E(Y^2)=V(Y)+E(Y)^2=frac{n-1}{2n}+1

その極限は {frac {1}{2}}+1={frac {3}{2}}

 

多肢選択式試験の正答番号は以下のURLで公表中です。6月1日金　17時まで

http://www.jinji.go.jp/seitou/index.htm


平成27年度（2015年）国家公務員採用試験　総合職　解答解説 【固有多項式】

2015-05-30 | 数学

国家公務員採用試験　総合職　解答

5月24日に国家公務員試験の1次試験がありました。

解答・解説を1日1問以下のスローペースでアップしていこうと思います。

【数理科学・物理・地球科学】専門（多肢選択）

No11


B= begin{pmatrix} A & O O & A end{pmatrix}


C= begin{pmatrix} O & A A & O end{pmatrix}とします。知りたいのはCの固有多項式。

ケイリーハミルトンの定理より

A^2-5A+7E=O

よって B^2-5B+7E=O

B^2+7E=5B

(B^2+7E)^2=25B^2

また、計算すると

C^2= begin{pmatrix} O & A A & O end{pmatrix}^2= begin{pmatrix} A^2 & O O & A^2 end{pmatrix} =B^2

(C^2+7E)^2=25C^2

(C^2+7E)^2-25C^2=O

(C^2+7E+5C)(C^2+7C-5C)=O

以上よりCの固有多項式は

(t^2+5t+7)(t^2-5t+7)

多肢選択式試験の正答番号は以下のURLで公表中です。6月1日金　17時まで

http://www.jinji.go.jp/seitou/index.htm

 


平成27年度（2015年）国家公務員採用試験　総合職　解答 【回転行列】

2015-05-29 | 数学

国家公務員採用試験　総合職　解答

5月24日に国家公務員試験の1次試験がありました。

解答・解説を1日1問以下のスローペースでアップしていこうと思います。

【数理科学・物理・地球科学】専門（多肢選択）

No6



条件からAが回転行列になればよさげだなぁと考え、以下のような解答になります。






 
多肢選択式試験の正答番号は以下のURLで公表中です。6月1日金　17時まで

http://www.jinji.go.jp/seitou/index.htm


平成27年度（2015年）国家公務員採用試験　総合職　解答 【アルゴリズムとフローチャート】

2015-05-28 | 数学

国家公務員採用試験　総合職　解答

5月24日に国家公務員試験の1次試験がありました。

解答・解説を1日1問以下のスローペースでアップしていこうと思います。

【数理科学・物理・地球科学】専門（多肢選択）

No5


問題の答えは１ですので、完成したアルゴリズムは以下のようになります。



iはaの添え字であり、a_1からa_20をチェックします。
xはすでにチェックした項のうち二番目に小さい数です。
yはすでにチェックした項のうち最も小さい数です。
全てチェックし終わったあとにxを出力します。

図のオレンジ枠の部分はa_iが二番目に小さいのでxを書き換えます。
緑枠の部分はa_iが最小なのでx,yを書き換えます。

この手のフローチャートやらオートマトンを完成させる問題は、
まず自分でどんなアルゴリズムになるか考えてから図を見ると分かりやすい気がします。






 
多肢選択式試験の正答番号は以下のURLで公表中です。6月1日金　17時まで

http://www.jinji.go.jp/seitou/index.htm


平成27年度（2015年）国家公務員採用試験　総合職　解答 【三角関数】

2015-05-27 | 数学

 


国家公務員採用試験　総合職　解答

5月24日に国家公務員試験の1次試験がありました。

解答・解説を1日1問以下のスローペースでアップしていこうと思います。

【数理科学・物理・地球科学】専門（多肢選択）

No2

 


sinC(cosA+cosB)=sinA+sinB

和積の公式から

2sinC cdot cosfrac{A+B}{2}cdot cosfrac{A-B}{2}=2sinfrac{A+B}{2}cdot cosfrac{A-B}{2}

両辺を 2cosfrac{A-B}{2}で割ります。本当は

2cosfrac{A-B}{2}neq 0を言わないといけませんが、面白くないので省略します。

sinC cdot cosfrac{A+B}{2}=sinfrac{A+B}{2}

A+B+C=πより

sinC cdot cosfrac{pi -C}{2}=sinfrac{pi-C}{2}

sinC cdot sinfrac{C}{2}=cosfrac{C}{2}

倍角公式より

2sinfrac{C}{2}cdot cosfrac{C}{2}cdot sinfrac{C}{2}=cosfrac{C}{2}

2sin^2frac{C}{2}=1

sinfrac{C}{2}=frac{1}{sqrt{2}}

答えはC=90°の直角三角形。

実際解答するときは、AとBの対称性から答えを推定して、

C=90°から式が成立することを確認するのが楽と思います。


多肢選択式試験の正答番号は以下のURLで公表中です。6月1日金　17時まで

http://www.jinji.go.jp/seitou/index.htm