「這いよれ！ニャル子さんF」と接吻数と単位球

OVAアニメ「這いよれ！ニャル子さんF」の終盤で親玉妖怪的なヤツが以下の問題を出題していました。

「24次元の単位球の周りに 単位球を重ならず 触れ合うよう 並べることのできる 最大数はいくつ？」

制限時間100秒

このような数は接吻数（kissing number)と呼ばれます。すなわち24次元における接吻数を求めよ、というわけです。

単位球とは半径1の球のことです。 24次元は考えにくいので2次元から考えると

「半径1の円の周りに 半径1の円を重ならず 触れ合うよう 並べることのできる 最大数はいくつ？」 となります。

実際円を描いてみるとすぐに分かりますが（下図）、 円の周りに正六角形状に6つの円を並べる場合が最大になります。 よって最大数は6です。

3次元の場合は 「半径1の球の周りに 半径1の球を重ならず 触れ合うよう 並べることのできる 最大数はいくつ？」 となります。

まず球の周りに（2次元でしたように）平面的に6つの球を置くことができます(下図）。

さらにその上下にもまだ球を置くことができ、それぞれ3つずつ置けます(下図）。

すなわち最大数は合計6+3+3=12です。

このように漸化式的に次々求められそうな気もするのですが、5次元以上は一般解は求まっていないようです。

ただし8次元と24次元だけは求まっていて、24次元については19万6560個だそうです。

すなわち真尋きゅんが解答すべきは「19万6560個」だったわけです。

すげぇ多く思えますが、状況としては「半径3の球の中に半径1の球をたくさん置く」といえます。 半径rの24次元球の体積は です。

3^24=2800億倍の体積の中に球をいれるわけですから、いっぱい入りそうです。

 

↑接吻数は指数関数的に増加していきます

 

「這いよれ！ニャル子さんF」においてはキス（接吻）がカギとなっています。

接吻数（Kissing Number)の問題を出題したのはアニメスタッフの洒落でしょうか？