選択公理とは ざっくりとした説明

ねえ、選択公理ってなに？

ウィキペディアによれば「どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。」ってなってるね。

うーん、結局どういうこと？

空でない集合ってことはさ、何かの元（要素）をもってるわけさ。だから集合から要素を取り出すことができるわけ。

うん。

その取り出すっていう動作を関数だとか集合だとか数学的な「モノ」が受け持つことができるっていうのが
選択公理なの。その関数を選択関数っていう。

そりゃできるんじゃない？

じゃあさ、任意の実数の集合が与えられたときにそこから要素を取り出す関数（というか写像）を
構成できる？

たとえば、もっとも０に近い数を取り出す関数とか？

その関数は｛0以外の実数の集合｝が与えられたら何を返すの？

そのときは1を返すの！

じゃあ1を除かれてたら？あるいはもっと病的な集合が与えられたら困るよ。
選択関数の構成は結構厄介なんだよ。
ていうか実際に構成してみせることができないことが証明されてるんだ。
構成はできないけど選択関数が存在すると認めるのが選択公理。

そっ・・・かあ。

可算選択公理って言葉もあるんだけど可算の場合は公理として認めなくても
選択関数の存在を証明できると思うんだけどなぁ。