百物語改め「九一三・六物語」

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双子素数が無限に存在することの証明のようなもの

2012-07-15 | 数学

素数定理によれば、正の数xまでに存在する素数の個数π(x)はこのように評価される。


pi(x)approx Li(x) = int_{2}^{infty} frac{1}{log t}, dx approx frac{x}{log x}


ここで、ncdot log(n)までに存在する素数の数π(n*log(n))は以下のようになる。


pi(ncdot log n) =frac{ncdot log n}{log(ncdot log n)} fallingdotseq frac{ncdot log n}{logn} =n


よってn番目の素数p_nはn*log(n)程度となる。

このp_n=ncdot lognとその次の奇数が双子素数となる確率は、 ncdot logn+2が素数となる確率なので


frac{1}{log(ncdot logn+2)} fallingdotseq frac{1}{logn}


となる。 次にp_n以降に双子素数が存在しない確率を求める。 すなわち、p_n,p_{n+1},p_{n+2}...がいずれも双子素数でなければいいので、確率Pは


P= left( 1-frac{1}{logn} right) cdot left( 1-frac{1}{log(n+1)} right) cdot left( 1-frac{1}{log(n+2)} right) ...

となる。その対数は


logP= sum_{k=n}^infty log left( 1-frac{1}{logk} right) fallingdotseq sum_{k=n}^infty left( - frac{1}{logk} right) =-infty

となる。logP=-inftyなので、P=0である。

p_n以降に双子素数が存在しない確率は0なので、p_n以降に双子素数は存在する。

nは任意なので、どんな大きな数についても、それより大きい双子素数は存在する。

※近似はかなり大雑把にしています。 ※証明は厳密なものではありません。 各数が素数であることは独立な事象ではないとか、 確率と分布は違うとか、その辺に関してはスルーしています。



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