百物語改め「九一三・六物語」

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物理　変数分離形　例題　（平成25年　数理科学・物理・地球科学　国家総合職過去問解説　多肢選択）

2016-03-12 | 国家公務員過去問

物理　変数分離形　例題　（平成25年　数理科学・物理・地球科学　国家総合職過去問解説　多肢選択）

 

No９５ まずrに対する重力加速度G(r)を求める。

天体のうちrより浅い部分のみが重力に寄与する。

その部分の体積は

frac{4}{3} pi r^3

質量は

frac{4}{3} pi r^3 cdot rho

位置rにおける質量mの物体にかかる重力は

mg(r)=Gfrac{m}{r^2}cdot frac{4}{3} pi r^3 cdot rho

よって

g(r)=frac{4pi Grho r}{3}

よって文中の静水圧平行の微分方程式は

frac{dp}{dr}=-rho cdot frac{4pi Grho r}{3}

変数分離形なので、両辺drをかけて整理する

dp=-frac{4pi Grho ^2}{3}rdr

両辺積分する

int dp=-frac{4pi Grho ^2}{3}int rdr

条件r=a,p=0 を満たすように積分定数を調整して

p-0=-frac{4pi Grho ^2}{3} left( frac{r^2}{2}-frac{a^2}{2} right)

p=-frac{2pi Grho ^2}{3} left( r^2-a^2 right)

中心圧力p(0)は

p=frac{2pi Grho ^2 a^2}{3}

解は１．



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