二変数の対称式を基本対称式で表現する方法(機械的なやりかた）

二変数の対称式を基本対称式で表現する方法(機械的なやりかた）

２変数の対称式を基本対称式で表現する。

（例） α 2 + β 2 {\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}} を基本対称式

s=α+β,t=α・β

で表現したい。

解と係数の関係からα,βは二次方程式 x 2 − s x + t {\displaystyle x^{2}-sx+t} の解である。

解の公式からα,βを求めると α = s + s 2 − 4 t 2     β = s − s 2 − 4 t 2 {\displaystyle \alpha ={\cfrac {s+{\sqrt {s^{2}-4t}}}{2}}\ \ \beta ={\cfrac {s-{\sqrt {s^{2}-4t}}}{2}}}

これでαとβがs,tで書けたので、 α 2 + β 2 {\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}} に代入すれば機械的に解決できて、

α 2 + β 2 = ( s + s 2 − 4 t 2 ) 2 + ( s − s 2 − 4 t 2 ) 2 {\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}=\left({\cfrac {s+{\sqrt {s^{2}-4t}}}{2}}\right)^{2}+\left({\cfrac {s-{\sqrt {s^{2}-4t}}}{2}}\right)^{2}}

めんどくさいけどこれを展開すれば

( s + s 2 − 4 t 2 ) 2 + ( s − s 2 − 4 t 2 ) 2 = 4 s 2 − 8 t 4 = s 2 − 2 t {\displaystyle \left({\cfrac {s+{\sqrt {s^{2}-4t}}}{2}}\right)^{2}+\left({\cfrac {s-{\sqrt {s^{2}-4t}}}{2}}\right)^{2}={\frac {4s^{2}-8t}{4}}=s^{2}-2t}

よって α 2 + β 2 = ( α + β ) 2 − 2 α ⋅ β {\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}=(\alpha +\beta )^{2}-2\alpha \cdot \beta }

すなわち、α,βの二変数対称式を基本対称式で書けという問題が出たら、

α = s + s 2 − 4 t 2     β = s − s 2 − 4 t 2 {\displaystyle \alpha ={\cfrac {s+{\sqrt {s^{2}-4t}}}{2}}\ \ \beta ={\cfrac {s-{\sqrt {s^{2}-4t}}}{2}}} を代入し、展開してから

s = α + β ,   t = α ⋅ β {\displaystyle s=\alpha +\beta ,\ t=\alpha \cdot \beta } で書きかえれば少なくとも答えはでる。

素直にするよりめんどいきもするけど、

ひらめきとか必要なくて機械的に解ける。

先生が点数をくれるかはわからないけど。