百物語改め「九一三・六物語」

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物語シリーズ　終物語　第1話おうぎフォーミュラの数式

2015-10-11 | 数学

さて、西尾維新の物語シリーズ、終物語が始まりました。 なかなかおもしろかったので、視聴継続かなと思っているところです。

メインキャラの老倉育が数学マニアであり、序盤に数式が登場したので、ごく簡単に取り上げようかと思います。

 

まず阿良々木君が「数学史上最も美しい式」として紹介しているオイラーの等式です。

e^{ipi}+1=0

これは数学で重要なe,1,0,πが現れるシンプルな式として美しいと言われていて、

美しいだけでなく、そのもととなるオイラーの公式e^{itheta} =costheta +isintheta.は

非常に活躍機会の多い式です。小説「博士の愛した数式」でも登場しました。


他、背景に現れた数式をいくつか書きます。

 

【スターリングの近似】

log(n!)=nlog(n)-n+O(log(n))

これは階乗（n!=1・2・3・・・n）を近似する式ですごくおおざっぱに言えば

n!=left( frac{n}{e} right)^nと近似されると言っています。

【二項定理】

(a+b)^n = sum_{k=0}^n {n choose k}a^k b^{n-k}

多項式の展開に関する式です。高校で習います。

高校生のかたには{n choose k}より_nC_kという表現の方がなじみかも知れません。

【タンジェントの加法定理】

tan(alpha+beta)=frac{tanalpha+tanbeta}{1-tanalpha tanbeta}

説明不要の三角関数に関する等式。


【二次方程式の解の公式】

x =cfrac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}

中学で習う公式。一時期高校で教えてたかも。この式の歴史は結構古くて、古代ギリシアでも知られていました。

 

【テイラーの定理】

f(x)= sum_{k=0}^{n-1} frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^{k}+f^{(n)}(c)frac{(x-a)^n}{n!}

関数を多項式で近似する式です。第2項は剰余項といい、テイラー展開ではこれの評価が重要になります。

【フーリエ級数】

f(x)=frac{a_0}{2} + sum_{n=1}^{infty} (a_n cos frac{2pi nx}{T} + b_n sin frac{2pi nx}{T})

上のテイラー展開に対して関数を三角関数で近似します

【コーシーシュワルツの不等式】

left(sum_{i=1}^n a_i^2right) left(sum_{i=1}^n b_i^2right)= left(sum_{i=1}^n a_i b_iright)^2 +left(sum_{1leq i < j leq n}^n a_i b_j - a_j b_iright)^2

内積に関する「コーシーシュワルツの不等式」の mathbb{R}^nバージョンの導出に現れる式です。

Σの添え字と、カッコのつけ方は多分ミスで、下記が正しいと思います。

left(sum_{i=1}^n a_i^2right) left(sum_{i=1}^n b_i^2right)= left(sum_{i=1}^n a_i b_iright)^2 +sum_{1leq i < j leq n} left(a_i b_j - a_j b_iright)^2

 

【フレネル積分】

int_{-infty}^{infty} sin(x^2)=int_{-infty}^{infty} cos(x^2)=sqrt{ frac{pi}{2}}

sin(x^2),cos(x^2)の積分です。証明にはコーシーの積分定理を使います。

下図（ウィキペディアより）を参考にしたら計算できる・・・はずです。

 

「円弧部分の積分は0に漸近し」の部分が、サラッと書いてありますが示すのが難しそうです。

【n次元球の体積】

frac{pifrac{n}{2}}{Gamma left( frac{n}{2}+1right)}

画像では多少レイアウトが崩れていますが、半径1のn次元球の体積

frac{pi ^{frac{n}{2}}}{Gamma left( frac{n}{2}+1right)}と思われます。

証明はいろいろありますが、ガウス積分を用いた証明は一度読む価値はあると思います。

 

【その他物語シリーズの数式関係】

終物語ウェブサイト背景の数式

終物語原作扉絵の数式１

終物語原作扉絵の数式２

物語シリーズ　終物語　第2話そだちリドルの数式その他

物語シリーズ　終物語　第2話そだちリドルの数式その他

 

 

 


老倉育（おいくら・ そだち）↑

一年生の時の阿良々木君のクラスメイト。数学オタクで「オイラー」と呼ばれたがっているがあだ名は「ハウマッチ」。

数学の成績は阿良々木君のほうが上。



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