２、さてそれで、前のページではドップラー効果を表す一般式の縦ドップラーを検証しました。
再確認になりますが、その一般式は次の形をしています。
f1=f0＊(1-Vr＊cos(Θ1))/(1-Vs＊cos(Θ2))＊sqrt(1-Vs^2)/sqrt(1-Vr^2) ・・・（１）式
ここでVrは静止系に対する観測者の相対速度（＝固有速度）、Vsは静止系に対する光源の相対速度（＝固有速度）を示します。
但しVr、Vsの方向はお互いが近づく方向をプラスに取ります。
f1は観測される周波数、f0は光源の周波数です。
角度についてはこれまでと同様の取り方になります。
Θ1=π、Θ2=0がお互いが近づく方向、Θ1=0、Θ2=πがお互いが離れる方向です。
但しこの時 Θ2=abs(Θ1-π) の関係が成立しています。それで
(1-Vr＊cos(Θ1))/(1-Vs＊cos(Θ2)) の項が古典的なドップラー効果を表す部分で
sqrt(1-Vs^2)/sqrt(1-Vr^2) の項が相対論的な効果（＝時間遅れの効果）を表します。
さてこの式をみますれば
Vr＝０、Vs≠０で通説の式（＝光源が相対速度Vsで動く場合の式）
ν’＝ν＊sqrt(1-V^2)/(1-V*Cos(Θ1)) ・・・（２）式に
そうしてまた
Vr≠０、Vs＝０でアインシュタインの式（＝観測者が相対速度Vrで動く場合の式）
ν’＝ν＊(1-V*Cos(Θ2))/sqrt(1-V^2) ・・・（３）式になる
・・・という事も確認しました。
そうして又今度はVr≠０、Vs≠０の場合、つまりは「光源と観測者の両方が動く場合」を確認しました。
ただしここで相対速度Ｖについては
Ｖ＝(b+a)/(1+b*a)
が成立しているものとします。
くわえてここではVr=a、Vs=bと置き換えています。
さらにΘ1=π、Θ2=0の場合を考えます。
つまり「光源と観測者がお互いに近づく方向」です。
これを確認すると驚くべき事に「固有速度を使って表された（１）式を縦ドップラーの条件で解きますと固有速度が消えて相対速度Ｖだけの式になる」のです。
しかもその「相対速度Ｖだけの式」は前もって確認されていた縦ドップラーを表す式、そのものになっていました。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
さてそれで、次はVr≠０、Vs≠０の場合、つまりは「光源と観測者の両方が動く場合」でなおかつ「横ドップラーシフトの場合」を確認しましょう。
上記に倣って相対速度Ｖについては
Ｖ＝(b+a)/(1+b*a)
が成立しているものとします。
また同様にVr=a、Vs=bと置き換えます。
さらにΘ1=π/2、Θ2=π/2の場合を考えます。
つまり「光源と観測者が相対速度Ｖですれ違う、その瞬間の場合」です。
この時光源から出る光は光源の運動方向とは直角の方向に出て（但し観測者が運動している方向に出る）、そうしてまた運動している観測者もその運動方向に対して直交する方向からの光を検出するのです。
こうして平行線上をお互いが近づいて離れていく、光源と観測者が両方動きながらまさにすれ違う時に観測者が光源からの光を観測するとどうなるのか、と言うのが「横ドップラーシフトの一般解のテーマ」です。
そうすると（１）式は
f1=f0＊(1-Vr＊cos(Θ1))/(1-Vs＊cos(Θ2))＊sqrt(1-Vs^2)/sqrt(1-Vr^2)
=f0＊(1)/(1)＊sqrt(1-b^2)/sqrt(1-a^2)
=f0＊sqrt(1-b^2)/sqrt(1-a^2) ・・・（４）式
となります。
ここで注目すべき部分は
sqrt(1-b^2)/sqrt(1-a^2)
です。
そうしてまた相対速度Ｖは
Ｖ＝(b+a)/(1+b*a)
でした。
従って
b=(V-a)/(1-V*a)
となっています。
ここでＶ＝０．５Ｃとします。
そうしますと
b=(0.5-a)/(1-0.5*a)
となります。
これを（４）式の注目すべき部分
sqrt(1-b^2)/sqrt(1-a^2)
に代入します。そうすると
sqrt(1-b^2)/sqrt(1-a^2)
＝sqrt(1-((0.5-a)/(1-0.5*a))^2)/sqrt(1-a^2)
となります。
これをウルフラムでプロットして挙動を確認します。
ただしプロットの都合上aをxに置き換えています。
y=1.155,y=sqrt(1-((0.5-x)/(1-0.5*x))^2)/sqrt(1-x^2),y=100000(x-0.5),y=100000(x-0.2679),y=1,y=0.866 プロット 0.8<y<1.2 ,0<x<=0.55
実行アドレス
横軸はaがゼロから０．５Ｃまで動く事を示しています。
もちろんこの時にはbは b=(0.5-a)/(1-0.5*a) を満足しています。（相対論的な速度の加算則を満たす。）
それはつまり
a=0.5の時はb=0
b=0.5の時はa=0
そうしてa=bの時は相対論的な速度の加算則に従って
a=b≒0.2679
となります。
この時にはグラフから分かりますように
sqrt(1-b^2)/sqrt(1-a^2)=1
つまりは「横ドップラーシフトは赤方偏移も青方偏移もせず、元の光の周波数を観測者は観測する」のです。
それに対してa<0.2679では徐々に赤方偏移を観測するようになります。
aは観測者側の固有速度を表していますから、a<0.2679ではb>0.2679となり
つまりは「観測者が静止方向であり、対して光源が運動する方向」となります。
そうしてその極限が b=0.5の時はa=0 でありこれは通説の式が表す状況となります。
その時には
sqrt(1-b^2)/sqrt(1-a^2)＝0.866
となり、これは（２）式で計算した値と同じになります。
それに対してa>0.2679では徐々に青方偏移を観測するようになります。
後の議論は上記と同様に進み、a=0.5の時はb=0 でこれはアインシュタインの式の条件になります。
その時には
sqrt(1-b^2)/sqrt(1-a^2)＝1.155
となり、これは（３）式で計算した値と同じになります。
以上、こうして（１）式は一般式として「光源と観測者の両方が動いている場合でも横ドップラーシフトを計算出来ている」という事が分かるのです。（注１）
ちなみに以前に通説の式とアインシュタインの式を比較してプロットさせました。
その時の条件もＶ＝０．５Ｃでした。
以下、それを再掲示しておきます。
『・・・そうしてこの例では相対速度ＶはＶ＝０．５Ｃで計算します。
y=sqrt(1-0.5^2)/(1-0.5*cos(x)),y=(1+0.5*cos(x))/sqrt(1-0.5^2),y=1000000*(x-pi/2),y=1 プロット 0<x
実行アドレス
表示はΘが０からπまで、上のカーブがアインシュタインの式、下のカーブが通説の式になっています。
横線はいわゆるドップラー係数が１、つまり周波数が変化しない位置をしめしており、それより上は青方偏移を下は赤方偏移する事を示しています。
そうして横ドップラーの起きる場所はΘ＝π/2≒１．５７であり、その位置は縦棒が示していますがアインシュタイン条件、つまりは光源が静止していて観測者が動いている場合と通説の条件＝観測者が静止していて光源が動いている場合のそれぞれのドップラー係数が読み取れます。
さてそうしますと横ドップラーシフトの観測ではアインシュタイン条件では青方偏移を観測し、通説条件では赤方偏移を観測する事になるのが確認できます。
ここでΘ＝π/2の時のそれぞれの式の形を確認しておきます。
（１）式（π/2）＝ν＊sqrt(1-V^2)
（２）式（π/2）＝ν/sqrt(1-V^2)
V=0.5を代入すると
（１）式（π/2,0.5)=ν＊sqrt(1-V^2)≒0.866ν
（２）式（π/2,0.5)=ν/sqrt(1-V^2)≒1.155ν』
となっていました。
このグラフの横ドップラーの起きる場所はΘ＝π/2≒１．５７なのですがそこで通説のカーブとアインシュタインのカーブで挟まれた縦軸部分を横軸に置き換えてプロットしたのが今回提示したグラフとなっています。
注１：通説の式もアインシュタインの式も「光源と観測者のどちらか一方が必ず静止していなくてはならない」という前提で導出されています。
つまり「その２つの式は光源と観測者の両方が動いた場合の横ドップラーシフトは計算できない」のです。
追記：さてそうであれば「光源と観測者の相対速度Ｖ＝０．５Ｃで横ドップラーシフトを観測出来た」のでれあば、その情報は sqrt(1-b^2)/sqrt(1-a^2) を表している事になります。
そうしてその値をＲとするならば
sqrt(1-b^2)/sqrt(1-a^2)＝Ｒ
Ｖ＝(b+a)/(1+b*a)＝０．５
からaとbの値が計算できる、つまりは多くの方々が「静止系は存在していたとしてもその位置は検出できない」と主張しているにも関わらず事実は「客観的に存在している静止系の位置が分かる」のです。