四平方の定理のヘロンの公式を用いた証明

　　中学生の作った定理「四平方の定理」というのが理科研究で入賞していたが、ヘロンの公式と最終的に等式で結ばれることからおめでたいと考えお正月の書き込みとする。
　下の図で示すと水色の三角形の部分に対してs=(a+b+c)/2とおくと面積S^2=s(s-a)(s-b)(s-c)・・・①という関係がヘロンの公式によって示されて存在するが、
a^2=r^2+p^2
b^2=p^2+q^2
c^2=q^2+r^2
より、
2p^2=a^2-c^2+b^2・・・(1)
2r^2=a^2+c^2-b^2・・・(2)
2q^2=-a^2+c^2+b^2・・・(3)
が成立し、
四平方の定理
S^2=(pq/2)^2+(qr/2)^2+(pr/2)^2・・・②
②の右辺に(1),(2),(3)を代入して整理するとすると①の右辺=②の右辺となる。
このことにより四平方の定理はヘロンの公式と恒等式となる。


  
というだけのことなのだが、そこに行くのは意外と難しく、
さらに長じてもっと複雑なブレートシュナイダーの式を同様に用いたりする人も現れるかもしれないが、
普通に三角関数で解くのが大多数であり、そこからは新発見はないと思われる。
ラグランジェの四平方の定理と本当に関わりがあるらしいのだがよくは今のところわからない。