分割と相似 紙とルート2

てんとう虫コミックスドラえもん42巻「半分の半分のまた半分…」で「半分こ刀」というひみつ道具(注1)が登場する。
これでのび太を2つに切ると、小さな（のび太と相似な）のび太が2人になる。
普通の刀で人間を切ると、上半身だけの人間と下半身だけの人間になって、元の人間とは相似にならない。ていうか、死ぬ。


しかし、普通の刃物で切断しても、元の形と相似な2つに分割できるものが存在する。
B5とかA4などの身近にある紙がそれにあたる。
A4の紙を二等分するとA5二枚になり、A5とA4は相似である。
縮小コピーしたり、ノート見開きをコピーしたりするときにこの性質はとても便利。
さて、なぜA4は二等分しても相似なのだろうか？
A4は、縦の長さを1とした場合、横の長さが√2になっている。
これを半分に切ると縦が1、横が√2/2である。
縦横入れ替えると、縦が√2/2、横が1になっている。
これは元のA4の1/√2倍になっている。(注2)


ところで、このような辺の比が1:√2である長方形以外に、相似な2つに分割できる図形が存在するだろうか？

ー続くー

(注1)ドラえもんのひみつ道具は秘密といいつつたいして隠していない。
(注2)縦も横も1/√2倍になっているので面積は1/2倍になっている。
(注)ちなみにA4とB4の比は√2:√3、面積比で2:3になっている。
(注)ちなんでるかどうか不明だけど、数学をする者にとって紙と鉛筆って重要。
数学史上の大発見を紙と鉛筆だけで再現できるから。