知性とは圧縮能力である。

ありとあらゆる文字列が15文字以内で表現できることの証明。





ｎ文字以内で定義できない文字列を Sn とする。




任意の Sn からなる集合を Xn とすると、Xn の要素は必ず Xn-1 の要素である（n 文字で定義できなければ n-1 文字でも定義できない）。

すなわち

Xn ⊂ Xn-1

が任意のｎ( ＞ 1) について成り立つ。


よって、n 以下の正の整数 k (0 ＜ k ≦ n) について、

Xn ⊆ Xk　…①

も成立する。




ここで、k = 15 文字からなる文字列 T = "ｎ文字以内で定義できない文字列" を考えたとき、これは書き下しによって15文字で定義できるので

T ∈ X15　…②

である。



ところが、Snの定義より、

T = Sn

であるので、

T ∈ Xn　…③

となり、15 ≦ n の下で②および③は①に反する。





このような矛盾が導かれたのは、ｎ文字以内で定義できない文字列 Sn が存在すると仮定したことが誤りであったからである。



したがって、ｎ文字以内で定義できない文字列は存在しない。


つまり、任意の文字列はｎ文字以内で定義できる。


（ただし ｎ ≧ 15）




ここで n = 15 を代入すると、「任意の文字列は15文字以内で定義できる。」が導かれる。









おわり。