ここまでの話の一般化をしておきます。
さてそれで時計Ａと時計Ｂの間に設定された静止系に対して時計Ａは左からVaで接近し、時計Ｂは右からVbで接近する事になります。
そうしてもちろん相対論的に加算された時計Ａと時計Ｂの相対速度はVです。
V=(Va+Vb)/(1+Va＊Vb) ＜－－相対論的速度の加算式による。（注１）
それで時計Ｂは言います。
「時計Ｃは長さＬの棒の先端に取り付けられていて、時計Ａはその棒の終端に取り付けられている」と。
まあそうなります。
時計Ｃと時計Ａの間隔はＬですから。
「その棒が速度Vaで静止系に左から向かって来ます。
従ってその棒の長さはローレンツ短縮をおこしてＬではなくＬ＊sqrt(1-Va^2)になっています。」
静止系から見た場合ローレンツ短縮割合はsqrt(1-Va^2) ですから棒の長さがＬ＊sqrt(1-Va^2)になる、という主張は正当なものですね。
「そうしてまたVaで静止系に向かってくる長さＬの棒の先端と終端におかれた時計が示す時刻は同時刻ではなくＬ＊Va秒の差が生じています。
この差分は棒の先端を基準とした場合は終端は＋Ｌ＊Va秒だけ未来にシフトしています。（注２）」
さて、アインシュタインを信用するならば、この時計Ｂの主張も認めざるを得ません。
そうして時計Ｂは続けます。
「時計Ｂが長さがＬの棒の先端にある時計Ｃとすれ違う時に時計Ｂと時計Ｃはリセットしました。
そうであれば
TB＠イベント①＝０秒
TC＠イベント①＝０秒
は当然です。」
「次に時計Ｂと時計Ｃがすれ違いざまに時刻をリセットした場所に静止系の原点を置きます。
さて静止系の時間で計って時計Ｂと時計ＣがリセットしたΔT秒後の時計Ｂの位置は原点の左側にVb＊ΔTだけ離れた所にあります。
そうして又この時に時計Ａの位置は原点左側にあり、その距離は原点から見て
時計Ａの位置＝ローレンツ短縮した棒が速度VaでΔT秒、右側に移動した分だけ右にシフト
＝(Ｌ＊sqrt(1-Va^2))ーVa＊ΔT
と表せます。
時計Ｂと時計Ｃがリセットした時に時計Ａの位置は原点左側で原点から距離(Ｌ＊sqrt(1-Va^2))だけ離れた所にありましたから、上記の様な計算になります。
そうしてイベント②は時計Ａと時計Ｂがすれ違うイベントですからこの２つの距離は同じでなくてはなりません。
従って
Vb＊ΔT＝(Ｌ＊sqrt(1-Va^2))ーVa＊ΔT
が成立している事がイベント②が成立する条件となります。
これをΔTについて解くと
Vb＊ΔT＋Va＊ΔT＝(Ｌ＊sqrt(1-Va^2))
ΔT＊(Va＋Vb)＝(Ｌ＊sqrt(1-Va^2))
従って
ΔT＝(Ｌ＊sqrt(1-Va^2))/(Va＋Vb) ・・・①式
さてそれで、イベント①からイベント②までの時計Ａの経過時間を計算します。
イベント①の時点で時計ＡはＬ＊Va秒を指しています。
次に時計Ａが時計Ｂとすれ違うまでに静止系時間でΔT秒、必要でした。
これを速度Vaで移動している時計Ａの時間に換算しますと
時計Ａの経過時間＝ΔT＊sqrt(1-Va^2)
そうしてもともと未来方向にずれていた時計Ａの時間とその後の経過時間を足すと
Ｌ＊Va秒＋ΔT＊sqrt(1-Va^2)秒
となりますからこれで
TA＠イベント②＝Ｌ＊Va＋ΔT＊sqrt(1-Va^2) 秒
となります。
ここに①式を代入すると
TA＠イベント②＝Ｌ＊Va＋(Ｌ＊sqrt(1-Va^2))/(Va＋Vb)＊sqrt(1-Va^2)
＝Ｌ＊Va＋(Ｌ＊(1-Va^2))/(Va＋Vb)
=Ｌ＊(Va＋(1-Va^2)/(Va＋Vb))
これが時計Ａのイベント②での時刻＝TA＠イベント②の値となります。
時計Ｂにつきましては時計Ｃとすれ違ってから時計Ａとすれ違うまでにΔT秒、静止系時間で経過していました。
これを速度Vbで移動している時計Ｂの時間に換算しますので
時計Ｂの経過時間＝ΔT＊sqrt(1-Vb^2) 秒
従って時計Ｂのイベント①からイベント②までの経過時間はΔT＊sqrt(1-Vb^2) 秒となります。
これがTB＠イベント②＝ΔT＊sqrt(1-Vb^2)秒の説明です。
ここに①式を代入して
ΔT＊sqrt(1-Vb^2)＝(Ｌ＊sqrt(1-Va^2))/(Va＋Vb)＊sqrt(1-Vb^2)
=Ｌ＊sqrt(1-Va^2)＊sqrt(1-Vb^2)/(Va＋Vb)
を得ます。
以上をまとめますと
時計Ｃと時計Ｂの間に設定された静止系に対して時計Ｃと時計Ａは左からVaで接近し、時計Ｂは右からVbで接近する。
そうしてもちろん相対論的に加算された時計Ｃと時計Ｂの相対速度はV。
時計Ｃは長さＬの棒の先端に取り付けられていて、時計Ａはその棒の終端に取り付けられている。
この時に時計Ｃと時計Ａは両者が属している慣性系内で時刻合わせが済んでいる。
それで最初に時計Ｃと時計Ｂがすれ違う。
その場所で時計Ｃと時計Ｂはリセットされる。そこがイベント①．
そうしてまた、その場所に静止系の原点を置く。
次に時計Ａと時計Ｂがすれ違う。そこがイベント②．
以上のイベント条件でそれぞれの時計の指す時刻を静止系観測者が測定すると測定結果は
TB＠イベント①＝０秒
TC＠イベント①＝０秒
TA＠イベント②＝Ｌ＊(Va＋(1-Va^2)/(Va＋Vb)) 秒
TB＠イベント②＝Ｌ＊sqrt(1-Va^2)＊sqrt(1-Vb^2)/(Va＋Vb) 秒
であり、
そうしてこの時に「TA＠イベント②とTB＠イベント②の示す時刻は固有時になります。」
以上がランダウ・リフシッツが説明した「３つの時計を使った２つの慣性系の間での時間の遅れの測定方法」であり、そうしてまた「その測定により得られることになる観測結果を表す一般解」となります。（注３）
さて今回はここまでで、得られた一般解の特性を検証するのは次回と致しましょう。
ちなみにこの一般解は
Lev Landau, Evgeny Lifschitzにちなんで
「ＬＬの一般解」と呼ぶことにします。
注１：速度Ｖと時計Ｃと時計Ａの間隔距離Ｌの単位は光速Ｃで規格化されています。
注２：速度Ｖでこちらに向かってくる長さＬの棒の先端と終端の時間差は、観察している観測者には先端に対して終端は＋Ｖ＊Ｌ（秒）未来にシフトして見える、と言うのは従来の説明通りです。
注３：これが時計Ｂと時計Ｃの間のどこに静止系の原点があっても成立している解＝一般解となります。
もちろんこの一般解は時計Ｂに静止系の原点があっても（＝時計Ｂが静止している）、時計Ｃに静止系の原点があっても（＝時計Ｃと時計Ａが静止している）成立しています。