はい、「何をいまさら」のテーマです。
「そんな事は分かってる」と。「対象物が移動した距離を移動に必要だった時間で割ればいい。」
ええ、まさにその通りなんですがその時に使う「移動に必要とした時間間隔Δｔをどうやって決めるのか？」、「どこから持ってくるのか？」が実は明確になっていませんでした。
・・・という問題提起ができるのも「世の中にはＢＴ時間軸というものが存在する」とローレンツ変換が教えてくれたおかげであります。
この問題はＮＴ時間軸が成立している世界、それは静止系の世界ですが、そこでは簡単です。
対象物が移動した距離を原点に置かれた時計で測った経過時間Δｔで割ればいいのです。
そうして今までの物理では速度はすべてそのようにして定義されていました。
いまさら「ｘ軸上に置かれたすべての時計の時刻は原点に置かれた時計の時刻に対してずれは生じていない」などという「ＮＴ時間軸を定義する必要さえなかった」のです。
しかしながらここにきて「ＢＴ時間軸が再発見されてしまいました。」（注１）
これで状況が一変することになったのです。
従来は「静止系に対して運動している慣性系の時間軸も静止系と同じでＮＴ時間軸のままである」という、そういう「暗黙の了解が成立していた」のです。
しかしながらそれは間違いでした。（注２）
「静止系に対して運動している慣性系の時間軸はＢＴ時間軸になっていた」のです。
さてそうなると「静止系でも運動系でも同じように通用する速度の定義、速度の測り方」が必要となります。
そうしてそれは実に簡単な事でした。
「測定対象の速度測定区間に設定された時計の時刻を使えばよい」のです。
速度測定区間の頭をＡ点、終わりをＢ点とします。
そうしてその２つの場所にその慣性系内で時刻合わせが終わっている時計①と時計②を置く。
で対象物が時計①を通過した時刻を時計①を使ってＴaと記録する。
同様にして対象物が時計②を通過した時刻を時計②を使ってＴbと記録する。
で速度を計算するのに必要な時間間隔Δｔは
Δｔ＝ＴbーＴa
で求まります。
そうしてこのやり方であれば静止系であれ運動系であれ同じように使えます。
加えてこの計算方法は速度の時間微分による定義にもなっています。
但しそこで使う時間はＢＴ時間軸で示される時間ｔ’となります。（注３）
さてこのようにして定義できた速度ではありますが、それが単に「従来の速度の定義を言い換えただけ」であって「なんのごりやくもない」ものであれば「つまらないもの」であります。
しかしながら「そうはならない、ごりやくはある」のです。
以下それについて説明しましょう。
１，速度の加法則とＢＴ時間軸の関係
： その５・棒の時間からのローレンツ変換の導出 ：の「ローレンツ変換から直接、速度の加法則が導出できる」事についてはそちらを参照願います。
それでこの時の状況ですが慣性系Ｋが静止系Ｓに対して相対速度０．６Ｃで動いている。
でその時に物体ｍが０．８Ｃで静止系に対して動いている。
静止系時刻０秒でＫ系原点も物体ｍも静止系の原点位置にあった。
そうしてその時にＫ系の原点位置に置かれた時計も０秒を指していた。
それで原点時刻１０秒後の物体ｍの静止系上での位置を求めますと
０．８Ｃ＊１０秒＝８Ｃ
となります。
さてこの座標（１０秒、８Ｃ）をＫ系（ｔ’、ｘ’）にローレンツ変換します。
ｘ’＝（８Ｃ－０．６Ｃ＊１０秒）/sqrt(1-0.6^2)
=（８－０．６＊１０）/0.8
=２．５（Ｃ）
ｔ’＝（１０秒ー０．６Ｃ＊８Ｃ）/sqrt(1-0.6^2)
＝（１０－０．６＊８）/0.8
＝６．５（秒）
そうであれば上記の記事： その５・棒の時間からのローレンツ変換の導出 ：で示したように物体ｍをＫ系から観測した場合の速度Ｖmは
Ｖm＝２．５/６．５＝０．３８４６１５・・・＝5/13
となります。
次に「速度の加法則を使った場合」は
Ｖm＝（０．８－０．６）/（１－０．８＊０．６）
=（０．２）/（０．５２）＝０．３８４６１５・・・＝5/13
となり「同じ結果を得ます。」
さらには棒の時間（ＢＴ）をつかった場合は
物体ｍとＫ系原点の静止系時刻１０秒後の距離は
８Ｃー６Ｃ＝２Ｃ
Ｋ系の物差しはローレンツ短縮で０．８がけで短縮している。（sqrt(1-0.6^2)＝０．８）
従ってその短縮した物差しで２Ｃの距離を測ると
２Ｃ/０．８＝２．５Ｃ
距離２．５Ｃの位置に置かれた時計はＫ系原点時刻に対して
２．５Ｃ＊０．６Ｃ＝１．５秒 遅れる。
静止系で１０秒経過はＫ系原点時刻では０．８がけで遅れるので８秒経過となる。（sqrt(1-0.6^2)＝０．８）
従って原点から２．５Ｃの位置に置かれた時計の時刻は
８（秒）ー２．５（秒）＝６．５（秒）を指している。
さてもちろんＫ系原点時刻０秒ではＫ系から見て物体ｍはＫ系原点に位置していた。
そうであれば物体ｍはＫ系原点時刻では８秒後にＫ系ｘ座標位置で２．５Ｃまで動いたことになる。
物体ｍは静止系上では等速直線運動していた。
その物体ｍをＫ系から観測しても等速直線運動していると観測されることに違いはない。
さてその時に物体ｍの速度Ｖmは移動距離２．５Ｃを移動に必要な時間Δｔで割ることで求める事ができる。
そうしてその移動に必要な時間Δｔは８秒というＫ系原点に置かれた時計が示す経過時間ではなくて、そのタイミングで、あるいは「物体ｍがＫ系のｘ座標位置２．５Ｃに到達した時にその場所に置かれた時計が示していた時刻６．５秒」と「物体ｍがスタートした場所、それはＫ系原点位置なのだが、その場所に置かれた時計がその時に示していた時刻０秒」との差分としての「６．５秒」を使う、というのが「速度についての新しい定義の内容となる」のです。
そうであれば物体ｍの速度Ｖmは「速度についての新しい定義」に従って
Ｖm＝２．５Ｃ/（ｘ座標２．５Ｃに到達時点でのその場所に置かれた時計が示している時刻ー物体ｍのスタート時点でのその場所に置かれた時計が示していた時刻）
＝２．５Ｃ/（６．５秒ー０秒）
＝２．５/６．５＝０．３８４６１５・・・＝5/13
となり、これもまた同じ結果となります。
さてそうであれば「速度の加法則を認めている」という事は「知らない間にＢＴ時間軸の存在を認めている」という事でありまた「速度の新しい定義方法を認めている」という事にもなっているのです。（注４）
ちなみにこうして求められた物体ｍの速度Ｖmに原点での経過時間８秒を掛けても物体ｍの到達距離にならないことは明らかであります。
速度Ｖm＊８秒＝5/13＊８秒＝３．０７６９・・・≠２．５Ｃ
そういう意味で物体ｍのＫ系での速度Ｖmは従来の速度とは概念が異なるものです。（注５）
２，「静止系から見たときに慣性系Kの相対速度が０．６Cである」という事はどういうことか？
新しい速度の定義に従って考えますと「静止系時刻で１０秒の時にK系原点は静止系原点から右に０．６Cの所に到達していた」。
そうして「その場所に置かれていた時計の時刻表示はその時には１０秒となっていた」となります。
従ってK系原点の速度Vkは
速度Vk＝６C/（ｘ座標６．０ＣにK系原点が到達した時点でのその場所に置かれた時計が示している時刻ーK系原点のスタート時点でのその場所に置かれた時計＝静止系原点に置かれた時計が示していた時刻）
＝６C/（１０秒ー０秒）
＝６/１０＝０．６C
となります。
何となれば「静止系の時間軸はＮＴ時間軸ですから原点時刻１０秒の時にはｘ軸上のすべての時計の時刻も１０秒となっているから」ですね。
ちなみにこの状況を棒の時間を使って言い換えますと「静止系で測定対象の速度をを測るのに使う棒はガリレイ変換で使う棒と同じで、棒の長さは縮まず、棒の原点時間は遅れず、さらに棒の先端に置かれた時計の示す時刻は原点に置かれた時計の時刻に対してずれることはない」となります。
つまりは「静止系から運動系を見たときの運動系の速度はガリレイ変換でよい」となっているのです。
３，「K系から見たときに静止系の相対速度がー０．６Cである」という事について
この内容については従来の特殊相対論の中では「暗黙の了解事項」として取り扱われていました。
そうしてこの事については言葉を変えますれば「特殊相対論がもつ、もう一つの暗黙の保存量」という事ができます。
つまり「ローレンツ変換は静止系と運動系の間の相対速度を不変に保つ」のです。
その結果「特殊相対論においては静止系からK系を見たときにその相対速度がVであるならば、K系から静止系をみるとその相対速度はーVになっている」のです。
「そんな事はあたりまえだろ？」という声が聞こえます。
さて本当に当たり前でしょうか？
何となれば静止系とK系では速度を測定するときに使う棒の時間（BT）が違っているからですね。
静止系からK系を観測するときはＮＴ時間軸を使い、Ｋ系から静止系を観測するときはＢＴ時間軸を使います。
それにもかかわらず「この２つの観測結果が同じになる」と「さてどうして言えるのでしょうか？」（注６）
ちなみにガリレイ変換の世界では「この２つの速度が同じになる事」は次のようにして説明できます。
静止系の時刻１０秒後には静止系の原点とＫ系の原点との間の距離は６Ｃになっていました。
そうであれば静止系から見たときにはＫ系原点は右方向に１０秒で６Ｃ進んだことになります。
従ってＫ系の速度は６Ｃ/１０＝０．６Ｃです。
これを逆にＫ系から見ますと静止系の原点はＫ系の原点からＫ系時間で１０秒後にー６Ｃ（左方向に６Ｃ）にある事になります。
従ってＫ系から見たＳ系の相対速度はー６Ｃ/１０＝ー０．６Ｃとなります。
こうしてガリレイ変換の世界ではＳ系とＫ系の間の相対速度は大きさが同じでただし方向が逆になっている事がわかるのです。
さて次にローレンツ変換の世界で同じことを考えます。
Ｓ系からＫ系を見たときにその相対速度が０．６Ｃになることはすでに示しました。
さてそれで同じ状況の時にＫ系からＳ系を見るとどうなるのかがテーマです。
Ｋ系の物差しはローレンツ短縮で０．８がけで短縮している。（sqrt(1-0.6^2)＝０．８）
従ってその短縮した物差しで６Ｃの距離を測ると
６Ｃ/０．８＝７．５Ｃ
７．５Ｃの長さの棒の先端の時刻は棒の原点の時刻に対して７．５＊０．６Ｃ、ずれる。
そうして今回はＫ系の進行方向とは逆方向に棒が延びているので時間のずれは棒の原点時刻に対して進む方向にずれる。
そうしてそのずれ時間は７．５＊０．６＝４．５秒となる。
さて静止系で１０秒経過はＫ系原点時刻では０．８がけで遅れるので８秒経過となる。（sqrt(1-0.6^2)＝０．８）
そうであれば棒の先端の時刻は８秒＋４．５秒＝１２．５秒となっている。
速度の定義からＫ系から見たＳ系原点の相対速度Ｖsの大きさはしたがって
相対速度Ｖsの大きさ＝７．５Ｃ/１２．５秒＝０．６Ｃ となる。
もちろんＳ系はＫ系に対して左方向に動くので
Ｖs＝ー０．６Ｃ
となる。
こうしてめでたくＫ系からＳ系を見たときにもＳ系からＫ系を見たときにも同じ相対速度の値０．６ＣになることがＢＴ時間軸を使う事で確認できたのである。
ちなみに通常はこの「相対速度の不変性」については「相対性原理を使う事で説明されている」模様です。（注７）
しかしながら「ＢＴ時間軸を使う事で相対性原理を使う事なく相対速度の不変性は説明できる」のです。
さてそうであれば「運動の相対性とＢＴ時間軸があれば相対性原理にこだわる必要はない」と言えます。
加えて「静止系からK系を見たときの運動系の速度はガリレイ変換でよく値は０．６C」そうして「K系から静止系を見たときの静止系の速度はＢＴ時間軸を使って（＝ローレンツ変換を使って）値はー０．６Ｃ」となっているのです。
このあたり、「誰が仕組んだのか知りませんが」何という巧妙さ、バランスの良さでしょうか！
注１：もともとはＢＴ時間軸はローレンツが提案しポアンカレが完成させたものです。
注２：この件詳細は： その３：棒の時間(BT)とMN図とミンコフスキー ：を参照願います。
注３：静止系の時間軸はＮＴ時間軸ですが「原点に置かれた時計とｘ軸上に置かれた時計の時刻の間のずれ量がゼロのＢＴ時間軸」とみる事も出来ます。
そのようにみるならば「この宇宙の時間軸はすべてＢＴ時間軸である」と言えます。
注４：ちなみに「速度の加法則の導出」についてK系で観測される物体の位置ｘ’と時間ｔ’を使ったものに： https://archive.md/BNIeb ：があります。
そうしてこの記事で「補足１」や「補足２」で展開されている内容は参考になるかと思われます。
しかしながらこの記事では「ＢＴ時間軸の概念までは到達してはいない」模様です。
注５：従来の速度の概念はＮＴ時間軸を前提としたものでした。
それに対してここで議論している速度ＶmはＢＴ時間軸上で成立している速度です。
注６：例えば： その７・ 光速不変を使わないローレンツ変換の導出 ：の最後の部分の記述に同様の疑問点が指摘されています。
そうしてその疑問に対する回答をようやくここで得る事ができた、という事になります。
注７：たとえばEman物理： https://archive.md/Evswb#selection-959.0-1009.1 ：ローレンツ変換の求め方：では以下の様な記述があります。
『今はK系からK'系への変換式を求める作業をしているが,当然のことながら,K'系からK系を見たときにも同様の変換式が成り立つはずである.違うのは速度vが逆方向であるということくらいである.しかしお互いは全く対等であるので速度が逆だというくらいで係数が変わってはいけない.x軸のプラス方向とマイナス方向に空間的にどんな違いがあるというのか.これは便宜上決めた方向に過ぎないのだ.』
何故「当然のこと」といえるのか？
それは「相対性原理の成立を前提としているから」ですね。
従って「お互いは全く対等であ」り、「速度vが逆方向であるということくらい」でいずれにせよ「K系からK'系を見たときの速度の大きさ」と「K'系からK系を見たときの速度の大きさは同じである」とEman物理は主張しているのです。
追記：「速度の新しい定義方法」などと言っていますがこれはローレンツ変換がポアンカレによって修正・完成された時点でこの世の中に登場していたものでした。
なんとなれば「ローレンツ変換はその速度の定義式を使っているから」ですね。
そうであれば「世界は１２０年間に渡って知らない間に『速度の新しい定義方法を使っていた』」となるのです。
さてそうしますとローレンツ変換から言わせれば「本当に、何をいまさら」となるのでした。
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「相対論・ダークマターの事など 記事一覧」
「その２：ダークマター・相対論の事など 記事一覧」
https://archive.md/T9PXv
