マッキーの学習指導法：今年の桜蔭中学入試問題「算数」・・・その１

 
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　しばらく、今年の中学入試に出題された算数の問題を取り上げ、その傾向と対策について綴っています。今日は、今年の桜蔭中学校の算数の問題を取り上げます。他の女子御三家である女子学院・雙葉中学校に比べて、算数は少し手強い問題が出題されます。男子難関進学校の問題ほど難しい問題ではありませんが、しっかりとした対策をたてて受験する必要があります。

　今年の桜蔭の算数は、５つの問題で構成されています。Ⅰ番目の問題は小問形式で、（１）で計算が２題、（２）が群数列の問題、（３）は円の転がり移動の問題で、円が通った部分の面積を求める問題です。

　Ⅱは割合を絡めた概数に関する問題、Ⅲは回転体の体積と表面積に関する問題で、工夫して体積を求める考え方ができるかどうかを試す問題となっています。

　Ⅳは水の深さに関する問題で、規則性を考えて解く問題です。Ⅴは速さに関する問題で、与えられた条件をしっかりと整理して根気よく解いていく問題です。

　今日は、問題Ⅰ（２）の数列に関する問題を取り上げて、説明をしましょう。


【問題】

　下の図１のように、小さな正方形の頂点と、大きな正方形の各辺を二等分する点が重なるように、正方形を作っていきます。さらに図２のように、１から小さい順に整数を入れていきます。たとえば、７は一番小さな正方形から数えて３番目の正方形に初めて出てきます。この作業をくり返すとき、次の□にあてはまる数を答えなさい。



　①３５は一番小さな正方形から数えて□番目の正方形に初めて出てきます。

　②一番小さな正方形から数えて５１番目の正方形に初めて出てくる４つの数のうち、一番小さな数は□です。


【解答・解説】

　一番めの正方形には数字の１が、二番目の正方形には２、３、４、５の数字が、三番目には６、７、８、９の数字が出てきます。

　上の問題は、１、（２、３、４、５）、（６、７、８、９）、（１０、１１、１２、１３）・・・という群数列の問題として考えます。１組目だけが数字が１個、それ以外は４個の連続した整数でできている群数列です。

　①は、３５がこの群数列の何組目の数字かを考えます。（３５－１）÷４＝８あまり２という計算から、３５は１０組目の数字であることが分かります。注意すべきことは、１が単独で１組目（イレギュラー）で、商の８とあまりの２が示している内容は、３５から１を引いた数３４が、数字４個を一組として、８組と次の９組目の２番目の数であることです。したがって、３５は１０組目の数字となるのです。このことから、①の答えの３５が出てくる正方形は、１０番目となります。

　このように考えて、②の問題は、１番目の正方形には数字が１個、２番目から５０番目の正方形（４９個の正方形）には数字が４個ずつ、そして最後の５１番目の正方形に書かれている最初の数字が求める数ということになります。

　よって、１＋４×（５１－１－１）＋１＝１＋１９６＋１＝１９８・・・答えとなります。

　こうした問題を日頃練習している受験生にとって、ミスし易いハードルを難なくクリアして解答を導き出すことは、難しいことではありません。数列に関しては、等差数列・階差数列・群数列を中心に、それらの数列を応用した問題が中学入試には出題されます。数の規則性を楽しむように練習してください。また、計算で分数数列の和を求める問題も出題されますが、計算で唯一その解き方を覚えておく必要がある問題です。


　数列に関する学習方法について興味のある方は、以下の過去のブログを参考にご覧ください。

数列に関する問題

等差数列の問題

階差数列の基本的問題

マッキーが教える入試問題・算数…群数列の問題

分数の数列の和をどう解くか

マッキーの一問必答：『分数数列の和』の計算

今春の中学入試問題にチャレンジ！…群数列

今春の中学入試問題にチャレンジ！…群数列など