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今春の中学入試に出題された、男女御三家の算数の問題を取り上げ、その傾向と対策について幾つか問題をピックアップして、問題傾向を分析しています。今日は、下のブログに続いて女子学院算数の解説二回目です。
マッキーの学習指導法:今年の女子学院中学校入試問題「算数」・・・その1
今日取り上げる問題は、最後の問題6です。通学時間に関する平均の問題で、時間の範囲を含む与えられた条件が理解できるかどうかがポイントとなります。
【問題6】
あるクラス30人の生徒の通学時間を調べたら、次のことが分かりました。
50分以上の生徒の通学時間の平均は、58分
50分未満の生徒の通学時間の平均は、24分
60分以上の生徒の通学時間の平均は、65分
60分未満の生徒の通学時間の平均は、27分
50分以上60分未満の生徒の人数は、5人
通学時間が60分以上の生徒の人数は□人で、クラス全体の通学時間の平均は□分□秒です。
【解説】
様々な解き方が考えられますが、通学時間が60分以上の生徒人数を□人として、文字式で条件を整理し、その式を解くことにより求めるのが、最も簡単な方法です。上位校を受験する場合、文字式で条件を整理する力が求められます。
通学時間が60分以上の生徒の人数を□人として、クラス30人の通学時間の合計を求めてみます。
60分以上の生徒と60分未満の生徒の通学時間の平均を用いると、
65×□+27×(30-□)
50分以上の生徒と50分未満の生徒の通学時間の平均を用いると、
58×(□+5)+24×(25-□)
無論のこと、二つの式は等しくなりますので、
65×□+27×(30-□)=58×(□+5)+24×(25-□)
左辺と右辺を整理すると、
38×□+810=34×□+890
4×□=80
□=20(人)・・・60分以上の生徒数
クラス全体の通学時間の合計は、上の式に代入して、38×20+810=1570
よって求めるクラス全体の通学時間の平均は、1570÷30=52と1/3(分)
52と1/3(分)=52分20秒・・・クラス全体の通学時間の平均
平均の問題は、総和(合計)を求めて計算する問題が基本形で、応用問題として面積図を用いて条件を整理する問題などが一般的です。今回の問題は、数値の範囲を絡めた問題で、文字式で解くと比較的簡単に解くことができます。
【追記】
ある方から、「この問題を満たす解が無い」のではないかという指摘がありました。今回問題を解いた数値を用いて、問題の確かめをしてみると、明らかにこの問題は、出題ミスだったことが分かりました。
では、皆さんが分かるように確かめをしてみましょう。
「60分以上の生徒の通学時間の平均は、65分」という条件から、その20人の総和は、65×20=1300(分)
「50分以上の生徒の通学時間の平均は、58分」という条件から、50分以上60分未満の生徒の人数5人を加えた25人の総和は、58×25=1450(分)
この結果から、50分以上60分未満の生徒の人数5人の総和は、1450-1300=150〈分)
よって、この5人の平均通学時間は、150÷5=30(分)となります。
通学時間50分以上60分未満の生徒5人の平均時間が、30分となってしまいますので、この問題の条件を満たす解は無いということになります。与えられた条件を鵜呑みに問題を解くと、私が出した答えが出てきます。しかし、設定された条件が、実は矛盾する設定だったという出題ミスでした。
入試を実施する前に訂正を出したのか、事後に配点考慮したのかは、情報はありません。明らかに恥ずかしい出題ミスも、毎年見かけます。今回の問題の出題者は、構成した問題を注意深くチェックして見るべきでした。私自身も、同様の表面的な解答をしただけでした。訂正して、お詫びします。
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