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マッキーの学習指導法:今年の開成中学入試問題「算数」
マッキーの学習指導法:今年の開成中学入試問題「算数」・・・その2
以上の開成中学の入試問題解説【1】・【2】に続いて、テストの最後の問題・【4】を今日は解説します。飛ばした【3】の問題は、与えられた条件に沿って、書き並べて求める問題で、小問(1)と(2)は簡単な問題です。(3)は時間との勝負の問題ですが、丁寧に書き並べれば正解できる問題です。
【4】の問題は、(1)の曲線の長さを求める問題と、面積に関する問題は、比較的簡単な問題です。しかし、(2)の面積を求める小問は、ちょっとした発想力が要求される問題です。
【問題】(若干実際のテストの言い回しとかえてあります。)
(1)下図において、3つの円の直径AB、AC、ADはすべて6cmで、直線ABと直線ADは垂直です。また、直線ACを線対称の軸とみるとき、点Bと点Dが対応します。点Gは一番左にある円の中心です。
()点Eと点Fとを結ぶ曲線(右図の太線)の長さは何cmですか。
()三角形ABEの面積は三角形EFGの面積の何倍ですか。
()三角形AEFの面積は何平方センチメートルですか。
(2)点Oを中心とする半径3cm(直径6cm)の円の周上に、周の長さを8等分する点を取り、順に点P、Q、R、S、T、U、V、Wそれぞれを中心とする半径3cmの円を描くと、下図のようになります。
このとき現れる線を利用して、下図の斜線部の図形を考えます。この斜線部の図形の面積は何平方センチメートルですか。
【解答・解説】
(1)の()は、与えられた条件の角BAD=90度から、角BAF=45度、角BGF=90度などが分かり、求める弧EFの中心角が45度となります。よって求める曲線の長さは、6×3.14×45/360=2.355(cm)
()は、まず三角形ABEと三角形BEGを考えると、高さが共通で底辺の長さがAB:GB=2:1ですので、面積の比も2:1となります。三角形EFGは、三角形BEGと合同な三角形です。よって三角形ABEの面積は、三角形EFGの面積の2倍というのが答えとなります。
()は、角BAFと角BGEのそれぞれの角度に注目します。すると角BAF=角BGE=45度ですので、同位角の大きさが等しいので、EGとFAは平行になっていることが理解できます。そこで、三角形AEFの頂点Eを点Gまで移動して、等積変形した三角形AGFを考えます。三角形AEF=三角形AGFとなりますので、直角二等辺三角形の三角形AGFの面積を計算して、求める三角形AEFの面積とすることができます。よって、3×3÷2=4.5平方センチメートルが答えとなります。
(2)この問題は少々難解です。複雑な図形の面積を求める場合、①この図形を分けて考える、②この図形を含む図形から余分を引く、③等積変形・等積移動を使う、④規則性を考える、などの方法が考えられます。この問題は、④の方法を使って考えると、比較的簡単に解くことができます。求める斜線部分の面積は、太線で囲まれた図形が8個組み合わされた図形として捉えて、面積を計算します。
中にある花弁状の8つの白い部分に、外周の小さな弓型を切り取り、等積移動して求める方法もあります。いずれにしろ、面積を求める図形を、より小さな合同な図形の集合体とし、等積移動などを用いて計算できる図形に変換することで、求める問題です。
太線で囲まれた一つの図形は、大小二つの弓形の部分を切り取り等積移動すると、平行四辺形となります。この平行四辺形の半分の面積が、(1)の()で求めた三角形AEFと合同ですので、面積(4.5平方センチメートル)が等しくなります。
よって求める斜線部分の面積は、4.5×2×8=72(平方センチメートル)と、チョ~簡単に計算できます。
回転移動・転がり移動・対称移動や、回転体・展開図・投影図・図形の切断などの図形の問題を解くためには、日頃の学習の中で、図形をノートに手書きして考えることが必要です。苦手意識を持たずに、面倒がらずに取り組んでいくことが大切です。
トップ校あるいは上位校の算数は難しいと言われています。しかし、合格するためには100点をとる必要はないので、開成の算数さえ、確実に得点できる問題が7割ほどありますので、ここでしっかりと得点する学習を日ごろ心掛けることが大切です。また、算数を得点源とする受験生は、今回の解説で難しいと指摘した問題も、果敢にチャレンジする学習が必要でしょう。
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