「マッキーのつれづれ日記」

進学教室の主宰が、豊富な経験を基に、教育や受験必勝法を伝授。また、時事問題・趣味の山登り・美術鑑賞などについて綴る。

マッキーが教える入試問題・算数…分数の数列の和をどう解くか

2008年07月09日 | 学習指導法

これから取り上げようとしている問題は、中学受験の算数に良く出題される計算問題です。

もう大分昔(15年前)になりますが、三田誠広が書いた「パパは塾長さん」という題名の、中学受験する我が子と過ごした受験生のパパ(作家本人)の体験記があります。(現在、絶版になっているようです。)

この本の中で、三田さんが、「こんな難しい計算を小学生がやっているのか。」と驚きながら記述していたのを、この問題を指導するたびに想い出します。

その計算問題は、実は高校2年生が学習する数列の中で、「分数の数列の和」を求める問題として学習する内容です。

中学入試の計算問題の中でこの特殊計算は、唯一その解き方を覚えていないと、なかなか計算することが難しい問題です。

では、以下のヒントを参考に、ご家族で挑戦してみてください。
(解答は、挑戦した後に見て頂くと、頭脳の体操になりますよ。)

(ただし、ブログでは分数の表記を、/ を使って表しますが、ちょっと見づらいかも知れませんが、ご容赦を。)


尾瀬のニッコウキスゲ

まず初めに、下の計算を考えてみます。
1/2-1/3=3/6-2/6=1/6
となる計算は、異分母の分数の通分が出来れば分かります。

こんどは、この計算の逆を考えましょう。すると、
1/6=1/2×3=1/2-1/3
とすることも出来ます。
この考え方を利用する問題です。

問題の前に、その考え方のヒントを例示している学校もありますが、基本的にはこの解法を覚えておくことが必要です。


では、さっそく、入試に出題された問題を例に挙げますので、ご家族で解いてみてください。

【問題1】
(1)1/1×2+1/2×3+1/3×4+1/4×5=□
(2007年・清泉女学院中) 


(2)1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56=□
(2007年・帝京中)


(3)1/3+1/15+1/35+1/63=□
《例:1/15=(1/3-1/5)×1/2》
(2007年・東邦大学附属東邦中)


(1)は、この計算の解き方のヒントが、問題に書かれています。
また、この問題レベルですと、通分することによっても計算が可能です。
しかし、その方法ですと、学習になりませんので、上手に解く工夫をしてください。

(2)は、通分して計算した人は、本来この問題を計算する方法を知っている人に比べ、何倍もの労力と、途中計算のミスの危険に遭遇したことでしょう

(3)は、(1)~(2)の計算方法を一歩発展させた問題です。
しかし、計算方法の例を挙げていますので、それに従って計算すれば、簡単に解答にたどり着けます。

このタイプの計算問題は、その他の多くの学校で例年出題されています。


郊外の花

【問題の解答】

皆さん、出来たでしょうか。
(1)1/1×2+1/2×3+1/3×4+1/4×5
=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)
=1-1/5
=4/5

最初の数と最後の数を除いた部分の、
-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4は、0となります。

(2)1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56
(1)と同様に考えると、
=1/1×2+1/2×3+1/3×4+1/4×5+1/5×6+1/6×7+1/7×8
となりますので、最初の数と最後の数を除き、間の計算は0となります。
=1-1/8
=7/8

(3)今度は例の通り、1/15は、1/3×5として、
1/3-1/5とすると、その答えは、2/15となってしまい、
元の1/15に戻りません。

そこで、例に挙げられている通り、最後に1/2をかけておく必要があります。
よって、1/15=(1/3-1/5)×1/2となるわけです。

1/3+1/15+1/35+1/63
=1/1×3+1/3×5+1/5×7+1/7×9
=(1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+1/7-1/9)×1/2
=(1-1/9)×1/2
=8/9×1/2
=4/9


街角の花

要領をマスターすると、このタイプの計算はとても簡単に出来ます。

次回は、分数の計算で、最近特に出題率の高いもう一つの問題を取り上げます。


また、以下の数列の解説も参考にしてください。

等差数列の問題

数列に関する問題

階差数列の基本的問題

群数列の問題

今春の中学入試問題にチャレンジ!…群数列

今春の中学入試問題にチャレンジ!…群数列など



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