マッキーが教える入試問題・算数…分数の数列の和をどう解くか

これから取り上げようとしている問題は、中学受験の算数に良く出題される計算問題です。

もう大分昔（１５年前）になりますが、三田誠広が書いた「パパは塾長さん」という題名の、中学受験する我が子と過ごした受験生のパパ（作家本人）の体験記があります。（現在、絶版になっているようです。）

この本の中で、三田さんが、「こんな難しい計算を小学生がやっているのか。」と驚きながら記述していたのを、この問題を指導するたびに想い出します。

その計算問題は、実は高校２年生が学習する数列の中で、「分数の数列の和」を求める問題として学習する内容です。

中学入試の計算問題の中でこの特殊計算は、唯一その解き方を覚えていないと、なかなか計算することが難しい問題です。

では、以下のヒントを参考に、ご家族で挑戦してみてください。
（解答は、挑戦した後に見て頂くと、頭脳の体操になりますよ。）

（ただし、ブログでは分数の表記を、／　を使って表しますが、ちょっと見づらいかも知れませんが、ご容赦を。）


尾瀬のニッコウキスゲ

まず初めに、下の計算を考えてみます。
１／２－１／３＝３／６－２／６＝１／６
となる計算は、異分母の分数の通分が出来れば分かります。

こんどは、この計算の逆を考えましょう。すると、
１／６＝１／２×３＝１／２－１／３
とすることも出来ます。
この考え方を利用する問題です。

問題の前に、その考え方のヒントを例示している学校もありますが、基本的にはこの解法を覚えておくことが必要です。


では、さっそく、入試に出題された問題を例に挙げますので、ご家族で解いてみてください。

【問題１】
（１）１／１×２＋１／２×３＋１／３×４＋１／４×５＝□
（２００７年・清泉女学院中）　


（２）１／２＋１／６＋１／１２＋１／２０＋１／３０＋１／４２＋１／５６＝□
（２００７年・帝京中）


（３）１／３＋１／１５＋１／３５＋１／６３＝□
《例：１／１５＝（１／３－１／５）×１／２》
（２００７年・東邦大学附属東邦中）


（１）は、この計算の解き方のヒントが、問題に書かれています。
また、この問題レベルですと、通分することによっても計算が可能です。
しかし、その方法ですと、学習になりませんので、上手に解く工夫をしてください。

（２）は、通分して計算した人は、本来この問題を計算する方法を知っている人に比べ、何倍もの労力と、途中計算のミスの危険に遭遇したことでしょう

（３）は、（１）～（２）の計算方法を一歩発展させた問題です。
しかし、計算方法の例を挙げていますので、それに従って計算すれば、簡単に解答にたどり着けます。

このタイプの計算問題は、その他の多くの学校で例年出題されています。


郊外の花

【問題の解答】

皆さん、出来たでしょうか。
（１）１／１×２＋１／２×３＋１／３×４＋１／４×５
＝（１－１／２）＋（１／２－１／３）＋（１／３－１／４）＋（１／４－１／５）
＝１－１／５
＝４／５

最初の数と最後の数を除いた部分の、
－１／２＋１／２－１／３＋１／３－１／４＋１／４は、０となります。

（２）１／２＋１／６＋１／１２＋１／２０＋１／３０＋１／４２＋１／５６
（１）と同様に考えると、
＝１／１×２＋１／２×３＋１／３×４＋１／４×５＋１／５×６＋１／６×７＋１／７×８
となりますので、最初の数と最後の数を除き、間の計算は０となります。
＝１－１／８
＝７／８

（３）今度は例の通り、１／１５は、１／３×５として、
１／３－１／５とすると、その答えは、２／１５となってしまい、
元の１／１５に戻りません。

そこで、例に挙げられている通り、最後に１／２をかけておく必要があります。
よって、１／１５＝（１／３－１／５）×１／２となるわけです。

１／３＋１／１５＋１／３５＋１／６３
＝１／１×３＋１／３×５＋１／５×７＋１／７×９
＝（１－１／３＋１／３－１／５＋１／５－１／７＋１／７－１／９）×１／２
＝（１－１／９）×１／２
＝８／９×１／２
＝４／９


街角の花

要領をマスターすると、このタイプの計算はとても簡単に出来ます。

次回は、分数の計算で、最近特に出題率の高いもう一つの問題を取り上げます。


また、以下の数列の解説も参考にしてください。

等差数列の問題

数列に関する問題

階差数列の基本的問題

群数列の問題

今春の中学入試問題にチャレンジ！…群数列

今春の中学入試問題にチャレンジ！…群数列など



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