マッキーが教える入試問題・算数…群数列の問題

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１つの数列の数項ずつを、組に分けたものを 《群数列》 と呼びます。

今日は、この群数列について、入試で出題された問題を参考に、考えてみましょう。

【問題１】

図のように区切られた数の組が並んでいます。（２００７年・大妻嵐山中・一部省略）

｜１，１，２｜、｜２，３，３｜、｜４，４，５｜、｜５，６，６｜……

（１）｜１９，１９，２０｜は初めから何番目の組ですか。

（２）初めから数えて３４番目の組の最初の数はいくつですか。


この問題は、大妻嵐山中の算数の、大きな問題の５番目に出題された問題です。

群数列が出題されたら、まず規則性を考えます。

次に以下の２つの点に注意して、その数列を考えます。

①組分けされているものをばらして考えると分かりやすい数列。

②組分けされていない数列を、組み分けして考えると分かりやすい数列。

この問題は、組み分けされているものを、以下のようにばらして考えます。

１，１，２，２，３，３，４，４，５，５，６，６…という数列になっていることが分かります。

答えは後ほど。




【問題２】

下のように、数がある規則にしたがって並んでいます。（２００７年・湘南白百合学園中）
２，４，６，４，６，８，６，８，１０，８，１０，１２……

初めから５０番目の数は、（　ア　）です。

また、６０が２回目に出てくるのは、（　イ　）番目です。


この問題は、湘南白百合学園中の最初の問題１の小問４問の中で、４番目に出題された問題です。

今度はどうでしょう。

よく見ると、②の考え方で、最初から３つずつの数で組分けすると、分かりやすい群数列になっています。

すなわち、｜２，４，６｜｜４，６，８｜｜６，８，１０｜…、このように組分けして考えましょう。

そして、アの解き方は、５０番目の数が、何組目の何番目の数か考えます。

イの解き方は、｜□、□、６０｜｜□、６０，□｜｜６０，□、□｜…
というように、６０は３回出てきます。

その２回目は、何組目の２番目の数になっているかを、考えましょう。



両校の問題とも、５年生の力で解くことが出来ますが、進んだ学習をしている４年生でも解答は可能です。


【問題の解答】

問題１

（１）は、まず１９が２回並ぶのは何番目の項かを考えましょう。
１，１，２，２，……１８，１８，１９，１９
自然数が２個ずつ並んでいますから、２番目の１９は、最初から数えて
１９×２＝３８番目の項です。

これを、３個ずつの組に分けていくと、
３８÷３＝１２あまり２
よって、１３番目の組が正解です。（１２番目にしない！）

（２）は、３４番目の組の最初の数は、区切りをとって考えると、最初から数えて何番目の項かを考えます。
３×３３＋１＝１００番目の項です。
自然数が２個ずつ並んでいるわけですから、
１００÷２＝５０　　よって答えは５０です。



問題２

初めから５０番目の数は、区切りをつけた何組目の何番目かを調べます。
５０÷３＝１６あまり２
よって、５０番目の数は、１７組目の２番目の数ということになります。
区切りをつけた組の最初の数は、２，４，６，となっていますから、
１７組目の最初の数は、２×１７＝３４
よって、１７組目の数は、｜３４，３６，３８｜と並んでいます。
アの答えは、３６です。　

次に、６０が２回目の出てくるのは、何番目かを考えます。
上の考え方から、６０が組の先頭、つまり３番目に出てくるのは、
６０÷２＝３０組目ということになります。
すると、６０が２番目に出てくるのは、２９組目の２番目ということになります。
したがってイの答えは、
３×２８＋２＝８６番目です。

この群数列は、様々な学校で、形を変えながら出題されています。
規則性を見つけ出し、今回説明した群数列の２つの解法を参考に、解いてみましょう。


以下の数列の解説も参考にしてください。

数列に関する問題

等差数列の問題

階差数列の基本的問題

分数の数列の和をどう解くか

今春の中学入試問題にチャレンジ！…群数列

今春の中学入試問題にチャレンジ！…群数列など



今日は七夕。エレベータホールの七夕飾り。



生徒の様々なお願いが、かなえられますように。