マッキーが教える入試問題・算数…階差数列の基本的問題

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　ここに載せた問題は、２００７年度に中学入試で出題された問題から、ピックアップした数列に関する基本的な問題です。では皆さん、心して以下の問題に、親子頭をつきあわせて、考えてみてください。

【初級編・問題】

（１）　ある規則で作られた次の数の列（ア）（イ）の初めから１０番目の数をそれぞれ求めてその和を答えなさい。【日大一中】

（ア）１，３，６，１０，１５，２１，……

（イ）１，４，１０，２０，３５，５６，……

　この問題は、日大一中の最初にある問題２の小問７題中の一つです。５年生レベルの知識で解けるはずです。注意力のある４年生なら、チャレンジできますよ。

　（ア）の数列はどうでしょう。まず、並んだ数の差をとりましょう。すると、２，３，４，５，６…となっています。そうです。これは並んだ数の差を調べると、「等差数列」になっていますので、この数列は、「階差数列」です。１０番目の数は、計算でも出ますが、書きならべた方が速いでしょう。


　（イ）の数列の、並んだ数の差を調べると、３，６，１０，１５，２１…　　何だろう？差を調べても、規則性が見つからない。注意力のある人は、あることに気がついたはずです。最初の小問で、そんなハイレベルの問題が出題されることはないのだから。

答えは、ちょっと後にしましょう。直下に答えがあると、どうしても見たくなりますからね。


（２）　下のように、数字をある規則に従って並べました。次の問に答えなさい。【郁文館中】

１，４，９，１６，２５，３６，４９……

①はじめから数えて、１１番目に出てくる数字は何ですか。

②５２９は何番目の数ですか。


　この問題は、計算・小問の後の大問の最初の問題です。私のブログを、しっかりお読みの方は、この数列を見たことがあるでしょう。私が指導した、公立小学校の算数の教材でも、取り上げた数列です。

この数列の差をとると、３，５，７，９，１１，１３…となっています。すると、この数列は階差数列かな？

無論これでも解くことが出来ますが、②の「５２９は何番目」の問題を計算で解くことは中級レベルの問題になってしまいます。さあ、どうしましょう。


【初級編・解答】

（１）の解答
（ア）の数列は、階差数列ですので、１０番目まで書き並べます。
１，３，６，１０，１５，２１，２８，３６，４５，５５
よって、１０番目の数は、５５です。

計算では、最初の数の１に、それぞれの数の差の、２，３，４，５…を加えていきます。
１＋（２＋３＋４＋…＋８＋９＋１０）＝５５
自然数１から１０までの和…５５を、覚えておくと便利です。

（イ）の数列の差をとると、（ア）の数列と最初の１を除き、「等しくなっている」ことに気がついたでしょうか。…注意力の問題！

従って、（ア）の数列を見ながら、数え上げていきましょう。
１＋３＋６＋１０＋１５＋２１＋２８＋３６＋４５＋５５＝２２０

よって求める答えは、５５＋２２０＝２７５です。


（２）の解答
この数列は、階差数列として考えるよりは、「奇数の和」として考えます。
１，４（＝１＋３），９（＝１＋３＋５）、１６（＝１＋３＋５＋７）…
そしてその数は、
１（＝１×１）、４（＝２×２）、９（＝３×３）、１６（＝４×４）‥
そうですね、「平方数」（同じ数を２回かけた数）が、順に並んでいます。

そこで、①の答えは、１１×１１＝１２１となります。


同様に、②の数５２９は、平方数になっているはずです。
２０×２０＝４００、３０×３０＝９００ですから、答えは二十幾つかの数になります。
ひと桁の数で、２回かけて一の位が９になる数は、３と７だけですから、
２３×２３と２７×２７を調べればよいことが分かります。

よって答えは２３×２３＝５２９ですから、２３番目の数ということになります。


　数字が並んでいるブログなんて、「面倒くさくて読めないよ！」と言う方には、申し訳ないように感じます。それでも、どなたでも数字に慣れ親しんでいると、中学入試レベルの算数は、とても興味深い内容を含んでいることが分かるでしょう。

「頭のトレーニング」が昨今流行ですが、どうぞ私のブログを活用して、「頭脳を活性化」して見るのも一考かと思います。ぜひ、ご家族とチャレンジしてみてください。

以下の数列の解説も参考にしてください。

2008-06-23 数列に関する問題

2008-06-18 等差数列の問題

群数列の問題

分数の数列の和をどう解くか

今春の中学入試問題にチャレンジ！…群数列

今春の中学入試問題にチャレンジ！…群数列など