機械翻訳剖検❸Case２ 空集合の性質

The empty set has one characteristic which seems quite strange to those who encounter it for the first time. As a preliminary illustration, consider a club whose president says that all Frenchmen in the club wear berets. But suppose it turns out that there are no Frenchmen in the club. Should the president’s statement then be regarded as true, false, or neither? More generally, given an arbitrary property P , should it be regarded as true, false, or neither, to say that all members of the empty set have property P ? Here we have to make a choice, once and for all, and the choice universally agreed upon by mathematicians and logicians is that such a statement should be regarded as true ! One reason for such a decision is this: Given any set S and any property P , the only way that P can fail to hold for all elements of S is that there be at least one element of S for which P doesn’t hold. The empty set is to be regarded as no exception to the statement just made, and so the only way that P can fail to hold for all elements of the empty set is that there is at least one element of the empty set that doesn’t have the property P , but that cannot be, since there is no element of the empty set at all! [As the late mathematician Paul Halmos would say, “If you don’t believe that P holds for all elements of the empty set, just try to find me an element of the empty set for which P doesn’t hold!”] Thus we shall henceforth regard it as true that for any property P , all elements of the empty set have property P . Here is another way of looking at it, which anticipates an important principle of Propositional Logic, which we study in Part II of this volume, namely the logical use of the word “implies” or “if – then.”

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空集合には、初めてそれを目にする人にとっては非常に奇妙に思える特徴がある。予備的な説明として、クラブにいるフランス人は全員ベレー帽をかぶっていると会長が言うクラブを考えてみよう。しかし、そのクラブにフランス人は一人もいないとしよう。そのとき、会長の発言は真とみなされるべきなのか、偽とみなされるべきなのか、それともどちらでもないとみなされるべきなのか。より一般的には、任意の性質Pが与えられたとき、空集合のすべてのメンバーが性質Pを持つと言うことは、真とみなされるべきなのか、偽とみなされるべきなのか、それともどちらでもないとみなされるべきなのか。数学者や論理学者の間で普遍的に合意されている選択は、このような文は真とみなされるべきであるということである！このような決定を下す理由の一つはこうである： 任意の集合Sと任意の性質Pが与えられたとき、PがSのすべての要素に対して成立しない唯一の方法は、Pが成立しないSの要素が少なくとも1つ存在することである。したがって、空集合のすべての要素に対してPが成立しない唯一の方法は、空集合の少なくとも1つの要素にPの性質がないことである！[数学者の故ポール・ハルモスが言うように、「空集合のすべての要素にPが成り立つと信じないなら、Pが成り立たない空集合の要素を探してみろ！」。］ これは、この巻の第II部で研究する命題論理の重要な原則、すなわち "implies "または "if - then "という言葉の論理的な使い方を先取りしている。

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空集合には、初めて遭遇した人にとって非常に奇妙に見える特徴が 1 つあります。 予備的な例として、クラブのフランス人全員がベレー帽をかぶっていると会長が言っているクラブを考えてみましょう。 しかし、クラブにフランス人がいないことが判明したとします。 では、大統領の発言は真実とみなされるべきでしょうか、それとも虚偽とみなされるべきでしょうか、それともどちらとも見なされるべきでしょうか？ より一般的には、任意のプロパティ P が与えられた場合、空のセットのすべてのメンバーがプロパティ P を持つと言うのは、true、false、あるいはどちらでもないと見なされるべきでしょうか。 ここで、私たちはきっぱりと選択をしなければなりません。そして、数学者と論理学者が普遍的に合意した選択は、そのような命題は真実であると見なされるべきであるということです。 このような決定の理由の 1 つは次のとおりです。任意の集合 S と任意のプロパティ P が与えられた場合、 P が S のすべての要素に対して成立しない唯一の方法は、 P が成立しない S の要素が少なくとも 1 つ存在することです。 空集合は、今行われたステートメントの例外ではないとみなされるため、空集合のすべての要素に対して P が成立しない唯一の方法は、空集合の少なくとも 1 つの要素が存在することです。 プロパティ P がありますが、空のセットの要素がまったくないため、それはあり得ません。 [故数学者ポール ハルモスはこう言いました、「空集合のすべての要素に P が成り立つと信じないなら、P が成り立たない空集合の要素を見つけてみてください!」] 今後は、任意のプロパティ P について、空のセットのすべての要素がプロパティ P を持つことが真実であると見なします。 これは、本書の第 2 部で学ぶ命題論理の重要な原則、つまり「暗黙的」または「if – then」という言葉の論理的使用を予期した別の見方です。

基本的な特徴は同様ですので、次回の例と併せてチェックしてみてください。現在の所、便利ですが油断できないツールです。